Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим 12, а вместо переменной b подставим 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) требуется найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется два способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет полностью понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй способ очень прост, и даёт возможность быстро найти НОД, но недостаток данного способа в том, что если часто им пользоваться

, можно перестать понимать суть темы. Мы с вами рассмотрим оба способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдем все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его красным цветом и в скобках пояснять что к чему. Итак, начнём:

12 : 1 = 12 (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6 (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4  (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3 (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке) (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2 (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке) (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке) (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке) (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке) (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке) (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1 (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все числа от 1 до 9

9 : 1 = 9   (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке) (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3 (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке) (9 не разделилось на 3 без остатка, значит 3 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке) (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке) (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке) (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1 (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные красным цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить, какой является самым  наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3