Образец выполнения
Задача 1.
Даны координаты точек
.Требуется:
Найти координаты векторов .
Найти вектор , если .
Выяснить, будут ли векторы и перпендикулярны.
Найти вектор выяснить, будут ли векторы и коллинеарны.
Решение:
1. Чтобы найти
координаты вектора
,
заданного координатами начала и конца
,
необходимо из координат конца вектора
вычесть координаты начала, то есть
.
В нашем случае
,
2. Если векторы
перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю, то есть
.
Длина вектора, заданного своими
координатами, вычисляется по формуле:
.
Пусть искомый
вектор имеет координаты
.
Так как
,
то
,
и
.
Составим из полученных равенств систему:
Из последнего
уравнения системы находим
,
подставляя в первые два уравнения
системы получаем:
и
3. Найдем скалярное произведение векторов и .
;
.
Следовательно,
векторы
и
.
4. Векторным
произведением векторов
называется
вектор
,
координаты которого в ортонормированном
базисе
можно вычислить следующим образом:
Векторы коллинеарны,
если их координаты пропорциональны:
В нашем случае имеем:
Итак,
Составим отношение
координат векторов
и
:
Составим отношение
координат векторов
и
:
Следовательно, векторы и коллинеарны и векторы и коллинеарны.
Ответ:
.
и
коллинеарны.
Задача 2.
Дан треугольник
АВС,
в котором
,
точки
- середины сторон треугольника, лежащие
напротив соответствующих вершин, О
– точка пересечения медиан. Выразить
векторы
через векторы
и
,
указать их координаты в этом базисе.
Решение:
Неколлинеарные векторы
и
образуют
базис пространства
,
следовательно, любой вектор этого
пространства можно разложить по базисным
векторам, т. е. представить в виде
комбинации базисных векторов. Коэффициенты
этого разложения будут являться
координатами вектора в указанном базисе.
При решении задачи используем свойство медиан треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины (рис.1), т. е.
и т.п.
рис. 1
Середины сторон треугольника – точки делят стороны пополам.
Используя правила сложения векторов выразим искомые векторы и укажем их координаты в данном базисе. Итак, имеем:
то есть
то есть
то есть
Замечание:
Если в задаче задан правильный шестиугольник, то используют тот факт, что в нем имеется три пары параллельных сторон (каждая из пар параллельна одной из диагоналей), их можно выразить коллинеарными векторами.
Если в задаче задана равнобокая трапеция, то в ней имеется пара подобных треугольников, основания которых совпадают с основаниями трапеции, а две другие в сумме составляют диагонали. При заданном соотношении между основаниями (равном коэффициенту подобия) легко выражаются отрезки диагоналей трапеции.
Ответ:
Задача 3.
Даны четыре вектора
.
Построить из данных векторов базис и
выразить в нем небазисный вектор.
Решение: известно,
что любые три некомпланарных вектора
образуют базис пространства
,
и любой четвертый вектор единственным
образом разлагается по базису. Признак
компланарности векторов: смешанное
произведение равно нулю.
.
Найдем смешанные произведения, вычислив определители разложением по строке или столбцу:
Следовательно,
любая из троек векторов образует базис
пространства
Рассмотрим в
качестве базиса, например, систему
векторов
,
а вектор
разложим по этому базису в виде
,
где
-
координаты вектора
в
базисе
.
Равенство векторов означает равенство соответствующих координат этих векторов.
Получим систему:
Решая эту систему
любым из методов (например, Крамера или
Гаусса), найдем новые координаты вектора
в
базисе
.
Определитель
.
Так как определитель
основной
матрицы системы уравнений отличен от
нуля, значит, по теореме Крамера данная
система имеет единственное решение,
которое можно найти, например, по формулам
Крамера:
Итак, вектор
-
искомое разложение вектора
в базисе
.
Ответ: .
Задача 4. Даны
координаты вершин пирамиды
:
.
Средствами векторной алгебры найти:
угол между ребрами и ;
площадь грани ;
точку пересечения медиан треугольника , используя формулы координат точки, делящей отрезок в данном отношении;
объем пирамиды;
длину высоты, опущенной из вершины на грань .
Решение:
1
.Угол
между ребрами
и
равен
углу между векторами
и
(рис.2), этот угол вычисляется по формуле:
Найдем координаты векторов и .
рис.2
Найдем скалярное
произведение:
Итак,
т.е.
2. Площадь S
грани
найдем,
используя геометрический смысл векторного
произведения:
где
Итак,
3
.
Найдем точку пересечения медиан
треугольника
.
Рассмотрим одну
из медиан (рис.3), например, медиану
- середина стороны
Используем
формулы координат середины отрезка:
рис.3
где
Известно, что в
треугольнике медианы пересекаются в
одной точке и делятся ею в отношении
2:1, считая от вершины. Точку пересечения
медиан треугольника
найдем, используя формулы координат
точки, делящей направленный отрезок
(вектор
)
в данном отношении:
Итак,
4. Объем V пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов, совпадающих с ребрами пирамиды:
где
5. Длину высоты, опущенной из вершины на грань , можно найти
.
Ответ:
1.
2.
3.
-
точка пересечения медиан;
4.
5.
