Обчислення довжини дуги плоскою кривої

Якщо на відрізку [а;в] неперервна, то довжина дуги плоскої кривої y=f(x) знаходиться за формулою: l=

18.3 Поняття про невласні інтеграли та їх обчислення

Нехай функція y=f(x)  задана на нескінченному проміжку [а;+∞) і якщо існує скінченна границя , то її називають невласним інтегралом з необмеженою верхнею межею інтегрування від функції y=f(x)   і позначають . 

Якщо ця границя в рівності існує, то невласний інтеграл збігається, у протилежному випадку інтеграл розбігається.

Аналогічно означається невласний інтеграл

Якщо обидві межі інтегрування нескінченні, то = , де c – довільне дійсне число.

Економічний зміст визначеного інтеграла

Кількість продукції, що виробляється з моменту до моменту дорівнює визначеному інтегралу від продуктивності, причому нижньою та верхньою границями інтегрування є моменти початку та завершення спостережувального періоду.

18. 4 Деякі застосування інтегрального числення в задачах економіки

Питання для самоконтролю:

1. У яких випадках визначений інтеграл обчислюють наближено ?

2. За якими формулами наближено обчислюється визначений інтеграл ? В чому їх суть ?

3. Які Вам відомі геометричні застосування визначеного інтеграла ?

4. В чому полягає економічний зміст визначеного інтеграла ?

Тема 19. Диференціальні рівняння першого порядку План:

1. Поняття про диференціальне рівняння та його розв’язки. Диференціальні рівняння першого порядку. Загальний розв’язок та загальний інтеграл диференціального рівняння першого порядку.

2. Початкові умови. Частинний розв’язок та частинний інтеграл диференціального рівняння першого порядку.

3. Рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні рівняння першого порядку. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

Джерела: 2, 4-6, 8, 16, 20, 34, 35, 37, 39, 44, 52.

Міні-лексикон: диференціальне рівняння, порядок диференціального рівняння, загальний та частинний розв’язок диференціального рівняння, інтеграл диференціального рівняння, особливі точки диференціального рівняння.

19.1. Поняття про диференціальне рівняння та його розв’язки. Диференціальні рівняння першого порядку. Загальний розв’язок та загальний інтеграл диференціального рівняння першого порядку

Загальним розв’язком диференціального рівнянняп-го порядку називають функцію , яка залежить від аргумента та довільних сталих , тобто має вигляд яка, при її підстановці у рівняння, перетворює рівняння у тотожність.

19.2. Початкові умови. Частинний розв’язок та частинний інтеграл диференціального рівняння першого порядку

Початкова умова диференціального рівняння:

.

19.3. Рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні рівняння першого порядку. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

Питання для самоконтролю:

1. Що називається диференціальним рівнянням?

2. Яке диференціальне рівняння називається звичайним?

3. Що таке порядок диференціального рівняння?

4. Що називається розв’язком диференціального рівняння?

5. Чому дорівнює кількість сталих величин?

6. Що називається загальним розв’язком диференціального рівняння пуго порядку?

7. Що називається частинним розв’язком диференціального рівняння пуго порядку?

8. Що таке початкові умови?

9. Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

10. Що називається загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку?

11. Що таке інтеграл диференціального рівняння?

12. Що таке загальний інтеграл диференціального рівняння?

13. Що таке інтегральна крива диференціального рівняння?

14. Сформулюйте теорему Коші.

15. Сформулюйте геометричний зміст теореми Коші.

16. Які точки називаються особливими точками диференціального рівняння?

17. Що таке особливий розв’язок диференціального рівняння?

18. Що таке особлива інтегральна крива?

19. Яке диференціальне рівняння першого порядку називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними?

20. Яке диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним диференціальним рівнянням?

21. Яке диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним диференціальним рівнянням?

22. Запишіть рівняння Бернуллі.