18.1 Наближене обчислення визначеного інтеграла: формули прямокутників, трапецій, парабол

У багатьох випадках розв'язування прикладних задач доводиться мати справу з інтегралами, для яких не можливо виразити первісні функцій за допомогою елементарних функцій. У цих випадках використовують формули наближеного обчислення визначених інтегралів.

.

Розглянемо функцію f(x), що визначена на відрізку [a,b].

Формула прямокутників

Розглянемо геометричний зміст визначеного інтегралу: якщо f(x)>0, то   дорівнює площі фігури, обмеженої графіком функції, віссю абсцис і прямими  і  х=а і х=в.

Чисельне інтегрування засноване на тому, що відрізок інтегрування [a,b] розбивають на n менших відрізків [x_i-1, x_i ] , кожен з яких є основою геометричної фігури, площу якої знаходять наближено як S_i, а значення інтегралу І визначають як суму таких площ S_i, тобто .

Найпростіший метод наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, суть якого зводиться до знаходження визначеного інтегралу як суми площ  N прямокутників (з висотою f(x)),  отриманих шляхом розбиття відрізка інтегрування [а, b] на N рівних частин. В цьому випадку розділити на прямокутники можна або зліва на право, тоді отримаємо формулу лівих прямокутників, або справа наліво ,

тоді отримаємо формулу правих прямокутників :

 

 

Формула трапецій

Суть методу трапецій полягає в тому, що інтеграл обчислюється таким чином: відрізок інтегрування [а, b] поділяється на N рівних відрізків, в середині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково-лінійною функцією, отриманою стягуванням ординат N відрізків [x_i-1, x_i ] хордами.

Інтеграл знаходиться як сума площ S_i прямокутних трапецій.

Відповідно на всьому відрізку інтегрування [а, b] площа фігури, яка визначається як сума площин всіх таких трапецій, визначається формулою:

Метод парабол (Сімпсона)

Тоді, сума всіх криволінійних трапецій визначається як

     або      ,     

де  , тобто кількість відрізків повинна бути парною.

18.2 Геометричні застосування визначеного інтеграла: обчислення довжин дуг кривих, об‘ємів та площ поверхонь тіл обертання

Нехай дана неперервна функція . Побудуємо криволінійну трапецію , обмежену графіком віссю Ох і двома прямими х=а і і будемо обертати її навколо своєї осі Ох. Отримане при цьому тіло називається тілом обертання

Розрахунок Об’єму тіла обертання

.

Тоді об'єм отриманого тіла обертання знаходиться за формулою , де

Якщо вважати, що крива обертається навколо осі Оу, то формула для знаходження об’єму тіла обертання має вигляд де _.

,

Якщо функція y=f(x) у кожній внутрішній точці відрізку [а;в] має неперервну похідну f''(х), то площа поверхні, яка отримується при обертанні графіка функції y=f(x) (а≤х≤в) навколо осі Ох визначається за формулою: S=2 dx.