Питання для самоконтролю:

1. Охарактеризуйте види змінних задачі лінійного програмування: базисні, вільні.

2. Як побудувати базисний опорний план задачі лінійного програмування симплексним методом?

3. Як здійснити перехід від одного опорного плану до іншого?

4. Сформулюйте критерій оптимальності плану ЗЛП.

5. Наведіть алгоритм розв’язування здачі лінійного програмування симплексним методом.

Тема 8. Спряженість у лінійному програмуванні (двоїстість)

8.1. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування.

8.2. Правила побудови двоїстих задач.

8.3. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.

8.4. Приклади побудови двоїстої задачі.

Джерела: 14, 15, 22, 25, 26

Міні-лексикон: система обмежень задачі лінійного програмування спряжені задачі, оптимальний план, основна нерівність теорії двоїстості, достатня умова оптимальності, економічна інтерпретація двоїстих задач.

8.1. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування

Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою двоїстою задачею.

Спряжені задачі лінійного програмування.

8.2. Правила побудови двоїстих задач

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі – на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі.

6. Матриця, що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів у системі обмежень двоїстої задачі утворюються одна з одної транспонуванням.

Процес побудови двоїстої задачі зручно зобразити схематично:

Види задач лінійного програмування:

8.3. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст

Якщо та – допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність .

Основна нерівність теорії двоїстості

Якщо та – допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність то X^*, Y^* – оптимальні розв’язки відповідних задач.

Достатня умова оптимальності

Теорема (перша теорема двоїстості)

Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто .

Економічний зміст першої теореми двоїстості

Максимальний прибуток (F_max) підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом , однак таку саму суму грошей ( ) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами . За умов використання інших планів на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво