- •Вища та прикладна математика
- •Методичні рекомендації щодо роботи з опорним конспектом лекцій
- •Тема 1. Системи лінійних рівнянь. Метод гауса План:
- •Поняття про системи лінійних рівнянь. Сумісні і несумісні системи рівнянь. Визначені і невизначені системи рівнянь
- •1.2. Розв'язування системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гауса)
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 2. Визначники, їх властивості. Правило крамера План:
- •2.1. Визначники другого і третього порядків. Визначники п- го порядку
- •Тема 3. Матриці. Дії з матрицями План:
- •3.1. Матриці. Види матриць. Елементарні перетворення матриці
- •3.2. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі
- •3.3. Множення матриць. Додавання матриць. Множення матриць на число
- •3.5. Застосування матричної алгебри в економіці
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 4. Вектори, лінійні операції над векторами. Скалярний, векторний та мішаний добутки План:
- •Скалярні та векторні величини. Вектори, лінійні операції над ними. Лінійна залежність векторів. Умови колінеарності та компланарності векторів
- •Визначення положення точки радіусом-вектором. Координати на прямій. Координати на площині. Координати у просторі
- •Координати точки поділу. Координати вектора, що заданий двома точками. Ознака колінерності двох векторів. Ознака компланарності трьох векторів
- •Координати середини відрізка :
- •Скалярний, векторний добутки двох векторів, мішаний добуток трьох векторів та їх властивості
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 5. Пряма на площині План:
- •Пряма як лінія першого порядку. Загальне рівняння
- •Рівняння прямої у відрізках на осях. Параметричні і канонічні рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:
- •Параметричні рівняння прямої:
- •Рівняння прямої у відрізках на осях:
- •Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих
- •Нормальне рівняння прямої. Відстань точки від прямої Питання для самоконтролю:
- •Тема 6. Графічний метод розвязування задач лінійного програмування План:
- •Основи лінійного опуклого програмування
- •Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування (злп)
- •Основні поняття
- •Форми запису задач лінійного програмування
- •Побудова опуклості допустимих розв’язків
- •Пошук оптимального плану Алгоритм пошуку оптимального плану злп графічним методом
- •При розв’язуванні злп можливі такі випадки:
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 7. Симплекс-метод знаходження розв'язку основної задачі лінійного програмування План:
- •7.1. Початковий опорний план
- •7.2. Перехід від одного опорного плану до іншого
- •7.3. Оптимальний розв’язок. Критерій оптимальності плану
- •7.4. Розв’язування задачі лінійного програмування симплексним методом Алгоритм розв’язування
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 8. Спряженість у лінійному програмуванні (двоїстість)
- •8.1. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування
- •8.2. Правила побудови двоїстих задач
- •8.3. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст
- •Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач)
- •4. Приклад побудови двоїстої задачі
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 9. Транспортна задача План:
- •9.1. Транспортна задача, як задача лінійного програмування. Постановка транспортної задачі за критерієм мінімальних витрат на перевезення.
- •9.2. Необхідна і достатня умови існування розв’язку транспортної задачі. Знаходження опорного розв’язку задачі методом північно-західного кута та методом мінімального елемента.
- •Метод потенціалів. Потенціальність – ознака оптимальності плану перевезень.
- •Алгоритм методу потенціалів:
- •Визначення типу транспортної задачі (відкрита чи закрита). За необхідності слід звести задачу до закритого типу.
- •Побудова першого опорного плану транспортної задачі одним із методів.
- •Перевірка опорного плану задачі на виродженість. За необхідності вводять нульові постачання.
- •Перевірка плану транспортної задачі на оптимальність.
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 10. Теорія границь. Неперервність функції План:
- •10.1. Поняття про функцію. Область визначення функції. Способи задання функції. Властивості функції
- •Нескінченно малі і нескінченно великі величини, зв'язок між ними
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 11. Похідна функції однієї змінної План:
- •11.1. Означення похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції
- •11.2. Похідна складної функції. Основні правила диференціювання. Таблиця похідних елементарних функцій
- •11.3. Похідна оберненої функції. Похідна неявної, степенево-показникової та параметричної функцій. Похідні вищих порядків
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 12. Диференціал функції однієї змінної
- •Тема 13. Основні теореми диференціального числення
- •Правило Лопіталля. Формула Тейлора
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 14. Дослідження функцій за допомогою похідних План:
- •14.1. Умови зростання і спадання функції. Екстремум функції. Необхідна та достатні умови екстремуму функції. Найбільше та найменше значення функції на проміжку
- •Тема 15. Застосування похідної в економічних розрахунках План:
- •Властивості еластичності функції
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 16. Невизначений інтеграл План:
- •Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця інтегралів
- •Тема 17. Визначений інтеграл
- •Тема 18. Наближене обчислення та застосування визначеного інтеграла
- •18.1 Наближене обчислення визначеного інтеграла: формули прямокутників, трапецій, парабол
- •Формула прямокутників
- •Формула трапецій
- •Метод парабол (Сімпсона)
- •18.2 Геометричні застосування визначеного інтеграла: обчислення довжин дуг кривих, об‘ємів та площ поверхонь тіл обертання
- •Розрахунок Об’єму тіла обертання
- •Обчислення довжини дуги плоскою кривої
- •18.3 Поняття про невласні інтеграли та їх обчислення
- •Економічний зміст визначеного інтеграла
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 19. Диференціальні рівняння першого порядку План:
- •Тема 20. Диференціальні рівняння другого порядку План:
- •Основні поняття. Загальний розв’язок та загальний інтеграл диференціального рівняння другого порядку. Частинний розв’язок та частинний інтеграл диференціального рівняння другого порядку
- •Диференціальні рівняння другого порядку, що дозволяють знизити порядок Диференціальні рівняння другого порядку:
- •Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 21. Числові ряди План:
- •Числовий ряд. Частинні суми ряду. Сума ряду. Збіжні та розбіжні ряди. Геометрична прогресія
- •Ряди з доданими членами. Умова збіжності доданого ряду. Теореми порівняння рядів з додатними членами
- •Достатні ознаки збіжності рядів з додатним членами: д’Аламбера, Коші, інтегральна ознака Маклорена-Коші
- •Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів. Знакопереміжні ряди. Теорема Лейбниця
- •Питання для самоконтролю:
- •Тема 22. Степеневі ряди План:
- •Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду
- •Властивості степеневих рядів
- •Ряди Тейлора та Маклорена
- •Ряд Тейлора:
- •Список рекомендованих джерел
Міністерство освіти і науки України
Київський національний торговельно-економічний університет
Вінницький торговельно-економічний інститут
Кафедра економічної кібернетики та інформаційних систем
Вища та прикладна математика
ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ
Вінниця 2016
Автори: Л.П. Гусак, к.пед.н., доцент
І.О. Гулівата, к.пед.н., доцент
Опорний конспект лекцій розглянуто і схвалено на засіданні кафедри економічної кібернетики та інформаційних систем 22.05.2016 р., пр. №5, на засіданні методичної комісії обліково-фінансового факультету 30.05.2016 р., пр. №5
Рецензент: Бондар М.В., к.пед.н., доцент
ЗМІСТ
Методичні рекомендації щодо роботи з опорним конспектом лекцій 4
Тема 1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса..............................5
Тема 2. Визначники, їх властивості. Правило Крамера...........................................7
Тема 3.Матриці. Дії з матрицями.............................................................................11
Тема 4 Вектори, лінійні операції над векторами. Скалярний, векторний
та мішаний добутки.................................................................................................15
Тема 5. Пряма на площині…………………………………………………………22
Тема 6. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування…...…25
Тема 7. Симплекс-метод знаходження розв’язку основної задачі лінійного програмування. ……………………………………………………………………29
Тема 8. Спряженість у лінійному програмуванні (двоїстість). …………………33
Тема 9. Транспортна задача………………………………………………………..36
Тема 10. Теорія границь. Неперервність функції……………………………….40
Тема 11. Похідна функції однієї змінної…………………………………………47
Тема 12. Диференціал функції однієї змінної……………………………………51
Тема 13. Основні теореми диференціального числення......................................52
Тема 14. Дослідження функцій за допомогою похідних.....................................54
Тема 15. Застосування похідної в економічних розрахунках.............................58
Тема 16. Невизначений інтеграл............................................................................60
Тема 17. Визначений інтеграл................................................................................63
Тема 18. Наближене обчислення та застосування визначеного інтеграла……65
Тема 19. Диференціальні рівняння першого порядку..........................................69
Тема 20. Диференціальні рівняння другого порядку............................................73
Тема 21. Числові ряди..............................................................................................75
Тема 22. Степеневі ряди.......................................................................................... 81
Список рекомендованих джерел....................................................................84