1. Примеры кодировок

Приведем простые примеры кодирования объектов.

Целые числа

Целое число n может быть представлено (закодировано), например, следующими тремя способами.

а) Словом α = 01…10 (n штук «1» и 0 по бокам) в алфавите А=(0,1). В этом случае длина кода l(α) (количество символов алфавита в слове) равна n+2;

б) Словом α = a₁a₂…a_k в виде десятичной записи в алфавите А=(0,1,…,9). Длина кода равна [lgn]+1.

в) В мультипликативной форме (произведение степеней простых множителей) в виде слова α = a₁^p1 a₂^p2…a_k^pk, (здесь a₁… a_k – простые числа).

Длина кода: .

Вектора и матрицы

Вектор с компонентами a₁… a_n , записанными в десятичной форме имеет, может быть представлен в виде слова длины lg n + .

Матрица M с компонентами в десятичной форме, M= , может быть представлена словом длины lg n + lg m + .

G = (V, E) – неориентированный граф.

Здесь множество вершин обозначено через V, а множество ребер через E. Пусть |V| = n, |E| = m.

Граф можно представить, например, следующими тремя способами (все числа в десятичной форме)

а) Списком ребер {(i₁, j₁), (i₂, j₂), … , (i_m, j_m)}.

б) Списком соседей (вершин), записанных последовательно для вершины 1, вершины 2,…, вершины n.

в) Матрицей смежности

A = | a_ij |_n×n , .

Алфавит А кроме арабских цифр будет включать вспомогательные разделители, например, «,» и «;».

Длина кода l(α) без учета разделителей для каждого из трех случаев следующая:

а) 4n + 10m ≤ l(α) ≤4n + 10m + (n+2n).

б) 2n + 8m ≤ l(α) ≤2n + 8m + 2log n.

в) l(α) = n² – n – 1 .

Пример.

1. (1 2), (1 4), (1 5), (2 3), (3 4), (2 4), (5 3)

2. (2 4 5), (3 4), (4 5)

3. 

2. Свойства кодировок

К коду β объекта α обычно применяют следующие требования.

Декодируемость. В случае кодирования (как преобразования слов) это свойство не вызывает вопросов. Пусть есть объект α, код β= φ(α). Декодируемость означает умение восстанавливать α по коду β= φ(α). В случае же кодирования в широком аспекте словом является только β. Сам объект α словом не является. Поэтому в каждом конкретном случае нужно определять понятие восстановление. В качестве примера можно привести пример присвоения идентификатора (слово в алфавите) неформализованному объекту (изделие, книга, человек). Здесь под восстановлением понимается нахождение конкретного объекта по его идентификатору.

Неизбыточность. Это требование означает стремление уменьшить длину кода. Но пока речь не идет об оптимизации и минимизации. Неизбыточность в широком смысле означает не поиск минимально возможной (по длине кода) кодировки, а использование известной кодировки без искусственного увеличения ее длины.

Разумность. Это термин из теории сложности алгоритмов. Он означает, что способ кодировки должен соответствовать тем целям, для которых информация будет использоваться в дальнейшем. Например, если мы решаем задачу о простоте числа (по заданному натуральному числу N требуется ответить на вопрос, является ли это число простым), то кодировка в мультипликативной форме (см. пример выше) не является разумной. Для большинства практических задач кодировка а) числа n в Примере а) для кодирования целых чисел не является разумной.

Пусть мы теперь имеем "разумные" кодировки. На этом уровне принимается интуитивная гипотеза о некоторой эквивалентности всех возможных "разумных" кодировок входных данных одной и той же массовой задачи.

Второй пример показывает варианты длины кодировок в зависимости от способа задания чисел. Варианты длины кодировок в третьем примере зависят уже от структуры входных данных. Но в обоих случаях можно говорить о, так называемой, полиномиальной эквивалентности.

В дальнейшем нам полезно будет понятие полиномиальной эквивалентности двух функций. Две неотрицательные функции S(n) и R(n) полиномиально эквивалентны, если существуют два полинома Q(x) и P(x) такие, что для всех n справедливы неравенства S(n)P(R(n)) и R(n)Q(S(n)).

Пусть S и R две "разумные" схемы кодирования задачи массовой Z. Длины входа в этих схемах для задачи I обозначим через S(I) и R(I). К ним можно применить определение полиномиальной эквивалентности.

В примере кодирования графа все три схемы полиномиально эквивалентны.