Приложение.

Приведем некоторые элементарные алгебраические пояснения к теме «БЧХ-коды».

Поле строится путем перехода от «числового» поля GF(2) к «векторному» полю GF(2^k). (В более общем случае от GF(p) к GF(p^k).) Опишем схему построения.

Есть бинарный вектор α₁…α_k. Этому вектору всегда можно сопоставить многочлен:

α₁ + α₂x + … + α_k-1x^k-2

Рассмотрим кольцо F [x] всех многочленов от переменной x с коэффициентами из поля F. Пусть s(x) — произвольный многочлен из F[x]. Тогда множество

{s(x)} = { c(x) • s(x):| c(x) F[x] } (*)

образует идеал кольца F[x]. Верно и обратное, любой идеал кольца F[x] представим в виде совокупности произведений многочленов (*) для подходящего многочлена s(x). Без ограничения общности можно считать, что s(x) многочлен наименьшей сте­пени в идеале (s(x)).

Пользуясь алгоритмом Евклида для многочленов, можно пока­зать, что в любом идеале такой многочлен s(x) существует и единствен. Рассмотрим фактор-кольцо F[x]/(s(x)) кольца всех многочленов F[x] по модулю идеала (s(x)). Элементами фактор-кольца F[x]/(s(x)) являются всевозможные многочлены степе­ни меньшей, чем степень s(x), а операции сложения и умножения в фактор-кольце производятся по модулю многочлена s(x). Если степень многочлена s(x) равна m и поле F конечно, то фактор-кольцо F[x]/(s(x)) содержит в точности | F| ^m элементов.

Опр. Многочлен f (x) из кольца F[x] называется неприводимым над полем F, если он нормированный (со старшим коэффициентом, равным 1) и не может быть представлен в виде произведения двух многочленов из F[x] меньших степеней.

Утв. Для любого k существует неприводимый полином P(x), т.е. такой многочлен, для которого не существует Q(x) и R(x) ,отличных от константы, таких что P(x) = Q(x) R(x).

Берем P(x) и рассматриваем кольцо класса вычетов по P(x) (degP(x) = k). Другими словами, рассмотрим все полиномы, которые при делении на P(x) дают один и тот же остаток – они образуют один класс; таких классов конечное число.

Теорема. Пусть f (x) — многочлен степени m с коэффициентами из про­стого поля F_p и (f(x)) — идеал, порожденный многочленом f(x) в кольце F_p[x]. Фактор-кольцо F_p[x]/(f (x)), состоящее из p^m элементов, является полем тогда и только тогда, когда многочлен f(x) неприводим над Fp.

Пример. Пусть p = 2, F₂ = {0,1}. Рассмотрим многочлен f (x) = 1 + x³ + x⁴. Несложно проверить, что он неприводим над F₂. Действительно, так как элементы 0 и 1 не являются корнями, то f (x) не имеет линейных многочленов x и x + 1 в качестве делителей.

Легко проверить, что единственный неприводимый над F₂ мно­гочлен второй степени x² + x + 1 также не делит f (x). Следовательно, многочлен f (x) неприводим и по теореме фактор-кольцо F₂[x]/(f (x)) является конечным полем с 2⁴ элементами. Все 16 его элементов представимы как многочлены степени меньшей 4 с операциями сложения над F₂ и умножения по модулю f(x). Например,

(x³ + x + 1)(x² + 1) = x⁵ + x³ + x² + x³ + x + 1 = x⁵ + x² + x + 1 =

x(x⁴ + x) + x² + x + 1 = (x³ + 1 + x) + x² + x + 1 = x³ + x² (mod f (x)).

Теорема. Для любого простого числа p и любого положительного целого числа m существует единственное с точностью до изоморфизма поле порядка p^m.

Конечное поле порядка pⁿ называется полем Галуа и обозначается GF (pⁿ).

Порядком произвольного элемента α некоторого конечного поля называется наи­меньшее целое положительное число k такое, что α^к = 1. Непосредственно из опреде­ления следует, что в конечном поле GF (pⁿ) для элемента α порядка k все элементы 1, α, α², ... , α^к-1 различны. Поэтому порядок каждого элемента поля GF(pⁿ) коне­чен и не превышает числа pⁿ — 1. Элемент α поля GF(n^m) называется примитивным, если его порядок равен pⁿ - 1. Многочлен, корнем которого является примитивный элемент, называется примитивным многочленом. Заметим, что не всякий неприво­димый многочлен является примитивным.

Сколько полиномов со степенью не больше n? Всего их 2ⁿ. Тогда всего классов вычетов по неприводимому полиному содержит 2ⁿ элементов.

Свойства полей Голуа.

1. Число элементов произвольного поля Галуа равно степени простого числа.

2. Для любого простого числа p и любого целого числа m > 0 существует единственное с точностью до изоморфизма поле Галуа GF(p^m).

3. Наименьшим подполем поля GF (p^m) является поле GF(p).

4. Поле GF(p^k) является подполем поля GF(p^m) тогда и только тогда, когда k делит m.

5. Любое поле GF(p^m) содержит хотя бы один примитивный элемент.

6. Над каждым полем Галуа GF(p) существует хотя бы один примитивный многочлен любой положительной степени.

Пример. Построим поле GF(2⁴) на основе поля GF(2) . В качестве неприводимого многочлена берем→ GF(2⁴), P(x) = x⁴ + x +1.

Согласно сказанному выше, поле GF(2⁴)состоит из всех многочленов степени меньшей 4:

x x² x³

x + 1 x² + 1 x³ + 1

_x² _{+ x x}³ _{+ x}

x² + x + 1 x³ + x + 1 x³ + x² x³ + x² + 1 x³ + x² + x x³ + x² + x + 1

Определим на множестве элементов операции умножения и взятия обратного элемента. Особенно удобно производить эти операции с помощью представления всех ненулевых элементов поля GF(2⁴) в виде степеней некоторого прими­тивного элемента α. В качестве α можно взять x. Действительно, все его степени по модулю f (x) различны между собой:

x ⁰ 1 1000

x¹ x 0100

x² x² 0010

x³ x³ 0001

x⁴ x+1  110

x⁵ x + x² 0110

x⁶ x² + x³ 0011

x⁷ 1 + x + x³ 1101

x⁸ 1 + x² 1010

x⁹ x + x³ 0101

x¹⁰ 1 + x +x² 1110

x¹¹ x + x² + x³ 0111

x¹² 1 + x² + x³ + x 1111

x¹³ 1 + x² + x³ 1011

x ¹⁴ 1 + x³ 1001

x¹⁵ = x⁰ 1000

Теперь мы можем решать в поле GF(2ⁿ) уравнения, например, уравнения из приведенного выше примера

.