9. Примеры кодов, исправляющих ошибки. Линейные коды.

Класс (n,M,d)-кодов очень широкий, поэтому естественным является стремление его проанализировать, выделить в нем специальные множества кодов. Такое выделение происходит за счет задания дополнительных свойств. В дальнейшем использование этих свойств помогает при построении кода.

1. Линейные коды.

Наложим на множество C ограничение, превратим его из подмножества в подпространство Bⁿ.

Это даст возможность использовать результаты линейной алгебры.

Опр.: Код C Bⁿ называется линейным (групповым), если для любых α, β C: α + β C.

Сразу из определения следует, что групповому коду обязательно принадлежит нулевой вектор.

Заметим, что если код не является бинарным, то понятия линейного и групповых кодов не совпадают.

В случае бинарного кода: Bⁿ – линейное пространство; зададим в нем подмножество векторов C Bⁿ, и для любых α, β C: α + β C . Отсюда следует, что вместе с любым набором вектров линейному коду принадлежит их линейная комбинация , поэтому C – подпространство Bⁿ.

Пусть dimC =k, |C| = 2^k. Согласно определению: если C – групповой код.

Легко показать, что d(c) = min |α| (α С, α 0).

Для любого линейного кода существуют 2 матрицы: G – порождающая, H – проверочная.

Порождающая матрица состоит из векторов (записанных в строке покомпонентно) некоторого базиса подпространства C. Для любого β C: β – линейная комбинация строк G. Если dimC = k, то G должна содержать k строк.

Проверочная матрица кода C – это такая матрица, что для любого α С:

αH^T = 0.

При построении кода (алгоритмов кодирования и декодирования) C чаще используется матрица H.

Опр.: Код С* Bⁿ называется ортогональным C, если для любых α, β: α С*, β С выполняется условие: αβ = 0.

Из курса линейной алгебры известно, что если dimC = k, то dimC* = n – k. При этом порождающей матрицей H * кода С* является проверочная матрица H кода С . (И наоборот.)

Пример: Код с проверкой на четность.

dimC = n – 1, dimH = 1, H = (11…1)_1xn

Рассмотрим теперь операции преобразования кодовых матриц.

Элементарные преобразования матриц:

1. Перемена местами строк.

2. Умножение строки на число.

3. Сложение строки с линейной комбинацией других строк.

4. Перемена столбцов местами.

Опр.: Коды C и D называются эквивалентными, если G(C) можно получить из G(D) с помощью элементарных преобразований.

Утверждение: Для любого С существует эквивалентный код С’ такой, что

Опр.: Код с порождающей матрицей вида ( ) называется систематическим.

В таком коде в подматрице находятся информационные столбцы, в - проверочные столбцы. (См. Раздел 10.2.2).

Проверочных символов (n – k). В H(C’) (n – k) строк, каждая строка – соотношение, задающее линейную комбинацию: 1-я – 10…0, 2-я – 01…0 и т.д.

Пример.

n = 5, k = 3 и

Пусть α₁,α₂, α₃ – информационные символы, α₄, α₅ – проверочные. Тогда проверочные соотношения:

Алгоритм кодирования осуществляется следующим образом: любая строка H дает проверочную комбинацию. Так мы преобразуем слова из B^k, подлежащие передаче, просто добавляя к ним n-k символов – результаты проверочных соотношений после подстановки туда информационных символов.

Заметим, что в нашем примере мы получили код с d(C) = 2.

В общем случае для декодирования с помощью таблицы декодирования на декодере хранится и в процессе алгоритма декодирования обрабатывается таблица, содержащая n2ⁿ символов (2ⁿ векторов). В начале курса мы уже видели, насколько сложно работать с экспоненциальным объемом информации.

Свойство линейности кода позволяет в этом вопросе получить существенную выгоду. Для хранения таблица декодирования нужно хранить ее первую строку и первый столбец, т.е. 2^n-k+2^k векторов. Это следует из того, что линейный код B^k – это подгруппа абелевой группы Bⁿ .

Раскладывая группу по подгруппе мы получаем таблицу декодирования в виде матрицы, первая строка которой, как обычно, векторы кода, а остальные – смежные класс. Тогда первый столбец – это образующие смежных классов.

Для линейных кодов такой алгоритм декодирования называется декодированием с помощью «стандартной расстановки».

Опр.: Синдром линейного кода называется вектор S_α = αH^T.

Если проверочная матрица имеет (n — k) строк, то синдром S_y произвольного вектора у из B ⁿ является вектором длины (n — k).

Поскольку по определению линейного кода вектор у является кодовым тогда и только тогда, когда yH^T = 0, то справедливо следующее утверждение.

Утв. Синдром S_y вектора у равен 0 тогда и только тогда, когда у является кодовым вектором.

Утв. Для двоичного линейного кода синдром S_y принятого вектора у равен сумме тех столбцов проверочной матрицы H, где произошли ошибки.

Утв. Пусть U – кодовое слово, при передаче из него получено слово V=U+ e, где вектор e – вектор ошибки. Алгоритм на основе стандартной расстановки правильно декодирует слово тогда и только тогда, когда вектор ошибки – образующая смежного класса.

Оно вытекает из следующего утверждения.

Утв. Два вектора u и v принадлежат одному и тому же смеж­ному классу тогда и только тогда, когда их синдромы равны.

Достаточно важным для линейных кодов является следующее простое утверждение.

Теорема. Кодовое расстояние линейного кода d(C) = d, тогда и только тогда, когда любые (d – 1) столбцов H линейно-независимы и данное d является максимально возможным.