1. Пример кода для канала с выпадением.

Построение кодов для таких каналов – сложные комбинаторные задачи. Проблема соотношения пропускной способности канала и скорости передачи кода отходит при этом на второй план. Приведем простейший пример.

Пусть дан код C, α=(α₁,α₂,…,α_n) – кодовое слово. Положим .

Опр. C_nk – кодом называется множество слов α из Bⁿ таких, что w(α)=0 (mod k).

Утв. C_nk – код является кодом с исправлением одного выпадения при k>n.

Доказательство. Пусть в слове α выпал символ. В результате получилось слово β=( β₁, β₂,…, β_n-1) длины n-1. Пусть правее выпавшего символа расположено N₁ единиц и N₀ нулей. Тогда, если выпал 0, то w(α)-w(β)= N₁, а, если 1, то w(α)-w(β)= N -N₀ . В обоих случаях

0≤w(α)-w(β)≤N<k.

Пусть Δβ – наименьший неотрицательный вычет числа w(β) по mod k (Это разность kp-w(β), где kp – минимальное число, кратное k и не меньшее w(β) ) .

Тогда из того, что w(α)=0 (mod k) получаем w(α)-w(β)= Δβ. Так как N₁≤|β|< N -N₀, то на основании сравнения чисел |β| и Δβ можно определить выпавший символ.

1. Если |β| ≥ Δβ, то нужно вставить в слово символ 0 так, чтобы правее него было Δβ единиц.

2. В противном случае вставляется 1 так, чтобы правее нее было n- Δβ нулей.

Утверждение доказано.

Пример.

Пусть N=6 и k=7. Если в слове α=110100 выпал первый символ, то получилось β=10100. В этом случае: |β| =2, w(β)=4, поэтому Δβ=3. Так как |β| < Δβ, то исходное слово получается, если в принятом слове отсчитать справа n- Δβ нулей и поставить перед ними 1.

Упражнение. В качестве упражнения можете проверить, что подобный код может исправлять одну ошибку типа вставки (вместо выпадения появляется лишний символ) или замещения 0 на 1. А при k≥2n он может исправлять одну любую из этих трех видов ошибок.

Если же выпадает несколько символов, то задача декодирования может сводится к задаче восстановления слова по фрагментам.

Опр. Фрагментом слова α называется любое слово β, буквы которого образуют подпоследовательность последовательности букв слова α.

Зная n и p можно прогнозировать длины фрагментов l. Критерий восстановления слова по фрагментам с использованием этих параметров даст k – необходимое количество фрагментов для восстановления. Отсюда можно построить алгоритм декодирования с перезапросами: декодер, получив фрагмент принимает решение о его перезапросе. Набрав необходимое количество фрагментов, декодер произведет декодирование.

Заметим, что проколы такого типа (Ack – Nac) используются на втором уровне модели OSI для случая кодов с обнаружением ошибок. (В таких кодах декодер не производит исправления ошибки, а только фиксирует ее появление. В случае же этого самого появления и используется протокол с перезапросом.)

3. Передача информации по двоичному симметричному каналу с шумом

   1. Схема и принципы кодирования.

Пусть вероятность ошибки p (p < 1/2).

Теперь считаем, что источник выдает двоичное слово, и в двоичном симметричном канале шум представляет собой искажение символа с вероятностью 0<p <1/2.

Источник

Bⁱ→a_i

F(Bⁱ)

0<p<1/2

F’(Bⁱ)

C

Bⁱ

Канал

F^-1(Bⁱ)