30Лабораторная работа 4 Численные методы решения нелинейных уравнений

31Цель работы.

- Программирование численных методов решения нелинейных уравнений.

- Сравнительный анализ методов простой итерации, половинного деления и метода Ньютона.

Планируемое время выполнения работы - 4 часа.

32Задание.

1. Найти корень уравнения

x - cos(x) = 0

простой итерацией, половинным делением и методом Ньютона с погрешностью

eps < 0.000001 и для каждого из трех методов определить (и вывести на экран) количество шагов алгоритма.

2. Выполнить п.1 для eps < 0.00000001.

3. Выполнить п.1 для уравнения

x – 10cos(x) = 0

и объяснить результаты.

Разрабатывайте программу так, чтобы пункты 1, 2 и 3 выполнялись бы для каждого из методов по одному алгоритму (для этого коэффициент при cos(x) сделайте переменной).

33Рекомендации по выполнению работы

Численному решению уравнения

f(x) = 0 (1)

должно предшествовать хотя бы грубое исследование вопросов существования и положения корней.

Итерационные методы

Заданное уравнение f(x) = 0 приводят к виду

x = (x). (2)

Выбирая некоторое начальное приближение Х_0, вычисляют последовательные приближения

Х_j+1 = (X_j), (j=0, 1, 2, …).

Сходимость таких приближений к искомому решению Х требует отдельного исследования. Сходимость зависит прежде всего от вида функции, а также от начального приближения. (В данной лабораторной работе такие исследования не делаются, но в пункте 3 задания приведена функция, для которой решения методом Ньютона и методом простой итерации могут расходиться.) Для того, чтобы программа нахождения корней этими методами не зацикливалась, следует ограничивать максимальное число итераций N_max, например, N_max < 1000.

Возможны различные способы приведения уравнения (1) к виду (2).

Простая итерация

Х_j+1 = X_j - f(X_j).

Метод Ньютона (метод касательной)

Х_j+1 = X_j - f(X_j)/ f (X_j).

Метод половинного деления

Для использования этого метода нужно задать границы интервала на оси абсцисс, содержащего ровно один корень [xl, xr] и требуемую точность вычислений.

Суть метода заключается в следующем. Выбирают Х на середине интервала [xl, xr] и определяют f(X). Если |f(X)| < eps, то середина интервала считается корнем функции, иначе корень ищется на том интервале из двух полученных, для которого значения функции на концах имеют разные знаки.

34Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен состоять из 4-х разделов, отражающих основные этапы разработки программы:

- Постановка задачи;

• Разработка алгоритма;

- Кодирование (соответствующий раздел отчета называется «Текст программы»);

- Тестирование (соответствующий раздел отчета называется «Анализ результатов»).

В разделе «Постановка задачи» должен быть приведен текст задания.

Раздел «Разработка алгоритма» должен содержать следующую информацию:

• краткое описание алгоритма (для 3-х методов);

• описание входных, выходных и вспомогательных данных с указанием их идентификаторов и типов;

• схему алгоритма, состоящую из двух частей: общей (укрупненной) схемы и уточненной схемы одного из блоков:

• Простая итерация (блок 0);

• Метод Ньютона (блок 1);

• Половинное деление(блок 2).

Номер блока равен остатку от деления порядкового номера студента в списке группы на 3 (блоки нумеруются, начиная с 0).

В разделе «Текст программы» должен быть приведен листинг программы, включающий необходимые комментарии.

В разделе «Анализ результатов» должны быть приведены распечатки экранов и объяснение результатов для п.3 задания. Для экономии краски изображения экранов должны иметь белый фон.

Отчет должен быть распечатан на принтере на листах бумаги формата А4, скрепленных в левом верхнем углу с помощью степлера, и подписан исполнителем с указанием даты сдачи отчета преподавателю.

35Контрольные вопросы

1. Нарисуйте схему алгоритма нахождения корней уравнения f(x) = 0 методом простой итерации.

2. Нарисуйте схему алгоритма нахождения корней уравнения f(x) = 0 методом Ньютона.

3. Нарисуйте схему алгоритма нахождения корней уравнения f(x) = 0 методом половинного деления.

36Рекомендуемые источники информации

36.1

37Лабораторная работа 5 Сортировка одномерного числового массива

38Цель работы

- освоение методов обработки массивов на примере сортировки массива;

- знакомство с алгоритмами сортировки;

- использование динамических массивов;

- работа с отладчиком;

-инициализация массивов с помощью датчика случайных чисел;

- оценка быстродействия алгоритма.

Планируемое время выполнения работы - 4 часа.

39Задание

Отсортировать числовой массив методом выбора максимального (минимального) элемента и методом пузырькового всплытия. По окончании сортировки вывести отсортированный массив и количество сделанных сравнений и перестановок элементов.

Сравнить быстродействие алгоритмов, которое определяется числом сравнений и перестановок, для 3-х вариантов массива:

- исходного не отсортированного массива,

- для исходного массива, отсортированного по возрастанию,

- для исходного массива, отсортированного по убыванию.

Для отладки программы обязательно разработайте контрольный пример

(статический массив из 5 элементов). Значения элементов тестового массива и их количество должны быть минимально-достаточными, чтобы обеспечивать удобство контроля. Поэтому нужно предусмотреть возможность простого изменения параметров тестового массива в программе. В процессе отладки обязательно используйте пошаговый режим выполнения программы и пошаговое сравнение значений в окне отладчика с результатами тестового примера.

Исследовать зависимость быстродействия от размера массива. Возможность изменения длины массива реализуйте с помощью динамического массива, а для его инициализации используйте датчик случайных чисел (см. п.4.3). Результаты исследования выведите в виде отформатированной таблицы.

Дополнительные требования.

Для удобства демонстрации результатов выполнения ЛР разработайте «универсальные»

функции сортировки целочисленных массивов для обоих методов, а в демонстрационной программе используйте функцию int Menu().

Рекомендации по выполнению работы

Перед выполнением п.2 лабораторной работы внимательно прочитайте текст и разберите примеры работы с массивами, приведенные в п.4 методических указаний.

При выполнении работы обратите внимание на следующие требования и рекомендации:

1. Размерность нединамического массива может быть только константой или константным выражением. Рекомендуется задавать размерность с помощью именованной константы.

2. Элементы массивов нумеруются с нуля, поэтому максимальный номер элемента всегда на единицу меньше размерности.

3. Автоматический контроль выхода индекса за границы массива не производится, поэтому программист должен следить за этим самостоятельно.

4. Указатель — это переменная, в которой хранится адрес области памяти.

5. Имя массива является указателем на его нулевой элемент.

6. Обнуления динамической памяти при ее выделении не происходит.

7. Освобождение памяти, выделенной посредством оператора new[], выполняется с помощью оператора delete[].

8. Перед выходом локального указателя из области его действия следует освобождать связанную с ним динамическую память, так как при уничтожении указателя будет потеряна связь памяти с программой и она станет «мусором» (память останется занятой программой, но так как ее адрес потерян в связи с удалением указателя, то программа не сможет ее использовать).

9. Если количество элементов, которые должны быть введены в программу, известно до ее выполнения, определяйте массив в операторе описания переменных, причем лучше как локальную переменную, чем как глобальную.

Если количество элементов можно определить только во время выполнения программы, но до ввода элементов, создавайте динамический массив.

10. Алгоритмы сортировки массивов различаются по быстродействию и занимаемой памяти, причем эти характеристики зависят от упорядоченности сортируемого массива.