11. Усилия, моменты и напряжения, действующие на элемент оболочки вращения

Из оболочки вращения двумя кольцевыми сечениями выделим элемент Э.

Укажем нагрузки действующие на элемент:

U – сила приходящаяся на единицу длины параллельного круга и которая стремится растянуть элемент в меридиональном направлении – меридиональная сила.

Т – сила приходящаяся на единицу длины меридиана и которая стремится растянуть элемент в кольцевом направлении – кольцевая сила.

N – сила приходящаяся на единицу длины параллельного круга – поперечная сила (сила среза).

М – изгибающий момент приходящийся на единицу длины параллельного круга и который стремится изменить кривизну элемента в меридиальном направлении – меридиональный изгибающий момент.

К – изгибающий момент приходящийся на единицу поверхности меридиана и который стремится изменить кривизну элемента в кольцевом направлении – кольцевой изгибающий момент.

12. Уравнение равновесия элемента. Вывод

Р – давление

S – толщина стенки элемента

n – нормаль к срединной поверхности

Oa=Ob=R₂ – радиус кривизны кольцевого сечения

O₁b=O₁d=R₁ – радиус кривизны меридионального сечения

Хх – ось вращения оболочки

U, T – меридианная, кольцевая силы

Двумя меридиональными и двумя кольцевыми сечениями из оболочки вращения выделим элемент. Определим уравнение равновесия элемента в проекциях сил на нормаль n к срединной поверхности.

Определим уравн. равновесия элемента в проекциях на нормаль n к серединной поверхности оболочки .

Площадь грани ab=Sdy. На эту грань действует меридиональное напряжение _U.

Меридианальная сила равна U=_U S  dy. Эта сила к нормали n действует под углом (/2 + d_n/2), тогда проекция этой силы U на нормаль n будет: _U  S  dycos(/2+d_n/2)=-1/2_USdyd_n.

Аналогично рассматривается проекция силы Т на нормаль n.

На грань bd действует напряжение _t - кольцевое. Тогда T= _t  S  dx .

Сила Т к нормали n располож. под углом (/2 + d/2). Проекция силы Т на нормаль n равна:

_t  S  dx  cos(/2 + d/2)=-1/2_t  S  dx  d.

Известно, что dy/d=R₂; d=dy/R₂; dx/ d_n=R₁; d_n=dx/R₁-1/2_USdydx/R₁; -1/2_tSdxdy/R₂

Условием равновесия является равенство алгебраической суммы проекции всех сил на нормаль n нулю. Приравняем _US dy  dx/R₁+ _t  S  dx  dy/R₂ - р  dx  dy=0. После преобразования делится на S, dx, dy.

_U/R₁+ _t /R₂=p/S - уравнение Лапласа

13. Уравнение равновесия зоны. Вывод

Уравнение равновесия зоны оболочки.

На произвольном уровне mn из оболочки выделим зону.

Р – давление на зону оболочки на уровне mn.

G – вес среды в зоне оболочки.

U – нормальная меридиональная сила.

АС=R₂ – радиус кривизны кольцевого сечения.

А’C=r

Определим уравнение равновесия проекций всех сил на ось хх.

1. Сила давления

2. Сила тяжести

G (Н)

3. Вертикальная составляющая меридиональной силы

U_вер=U∙sin_n (Н/м)

4. Удельная меридиональная сила на единицу длины окружности по срединной поверхности.

5. Уравнение равновесия зоны ось хх

Из уравнения равновесия зоны находим UU/S=_U в уравнение Лапласа_t