Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”
Кафедра микрорадиоэлектроники и технологии радиоаппаратуры
Реферат
на тему: «Нелинейность как свойство микро- и наномира»
Выполнил:
студент _2_ курса, гр.
Санкт Петербург 2014 Оглавление
Основные понятия, определения………………………………………………..3
Открытые, закрытые, динамические системы………………………………3
Линейные и нелинейные системы…………………………………………....4
Определение хаоса в нелинейных системах………………………………...5
Практическое отображение нелинейных систем и их свойств………………..6
Фрактальные наноразмерные пленки………………………………………..6
Нелинейность в различных средах…………………………………………..7
Нелинейность турбулентного движения…………………………………….7
Солитон………………………………………………………………………...8
Заключение……………………………………………………………………….9
Список литературы………………...…………………………………………….10
Основные понятия, определения.
Открытые, закрытые, динамические системы.
С точки зрения особенностей взаимодействия с внешней средой все системы подразделяются на открытые и закрытые. Закрытая система не обменивается с внешней средой ни энергией, ни веществом, ни информацией и пребывает в состоянии равновесия. Если вывести каким-либо образом закрытую систему из положения равновесия путем внешнего воздействия, то через некоторое время за счет релаксационных процессов равновесие в системе восстановится. Открытая система обменивается с внешней средой веществом, энергией и информацией, вследствие чего в ней происходят различные процессы, изменяющие ее состояние во времени. Такая система, во-первых, находится в положении, далеком от равновесия, поскольку обмен веществом, энергией и информацией с внешней средой все время изменяет ее состояние, и она просто не успевает должным образом восстановить равновесное состояние. Во-вторых, она эволюционирует, и если процессы, происходящие в ней, необратимы во времени, то эволюция может происходить различным образом (в зависимости от изменения начальных параметров системы).
Классическая физика в основном оперирует с закрытыми системами, а если на такую систему и подается какое-то возмущение, то интересуются только двумя состояниями: до возмущения и после него (когда система придет в равновесие). Переходной процесс, эволюция системы даже в таком маленьком временном интервале, внимания не заслуживали, что очень странно, так как пример истинной закрытой системы найти практически невозможно, если не рассматривать всю Вселенную. В остальных случаях приходится оговаривать, с какими приближениями и допущениями систему можно считать закрытой. Биологические системы принципиально не могут быть закрытыми, они эволюционируют с уменьшением энтропии до момента прекращения своего существования и с ее увеличением после наступления этого факта (начинают разлагаться после смерти).
Поскольку для открытых систем не пригоден принцип временной инвариантности, то описание процессов, происходящих в открытых системах, отличается от описания процессов, происходящих в закрытых системах. Для описания закрытой системы используются уравнения, обратимые во времени. Соответственно обратимы во времени все происходящие в ней процессы. В открытых системах происходящие процессы не обратимы во времени, для них характерна стрела времени[1]. Это явление, основанное на предположение, что направление течения времени связано с расширением Вселенной. В тот момент, когда расширение сменится сжатием, может повернуться в другую сторону и "стрела времени"[2]. Особый интерес представляют динамические системы. Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени. Это система любой природы (физической, химической, биологической и даже социальной или экономической), состояние которой изменяется во времени, дискретно или непрерывно.
Понятие динамической системы, первоначально возникшее как обобщение понятия системы механической природы, при таком определении существенно расширяется. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле задания оператора эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Линейные и нелинейные системы.
Все системы по способу своего описания подразделяются на линейные и нелинейные. Геометрическим образом линейной функции на плоскости будет прямая линия, а геометрическим образом нелинейной функции — любая кривая. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения.
Нелинейные функции изменчивы и неповторимы. То, что точно описывает характерные особенности одного класса нелинейных функций, может быть абсолютно неприменимо к другому их классу. При переходе в нелинейный мир навсегда утрачивается основной краеугольный камень классической физики — принцип суперпозиции, позволявший конструировать любую задачу как набор частных решений, например кусочно-линейная аппроксимация.
Принцип суперпозиции — это допущение, согласно которому в случае если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями, т. е. к линейным системам. Например, если среда, в которой распространяется волна, линейна, т.е. ее свойства не меняются под действием возмущений, создаваемых волной, то все эффекты, вызываемые негармонической волной, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых каждой из ее гармонических составляющих. С помощью преобразований Фурье любую негармоническую функцию можно представить как комбинацию гармонических. Для линейных систем характерны так называемые аффинные преобразования (вспомним фрактальную геометрию) — точечные взаимно-однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые, параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости.
Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. Будущее объекта однозначно детерминированное и его можно предсказать, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования).
Реальный мир далек от идеалистического линейного существования и описывается нелинейными функциями. Для описания нелинейного мира необходима не только новая математика, которая уже существует, но и свободное мышление, способность воспринимать все новое и непривычное. Необходимо соединить нелинейные и открытые системы. Речь идет о системах, имеющих выход и вход, т.е. обменивающихся с окружающей средой потоками энтропии (энергии, вещества, информации), благодаря чему система оказывается выведенной из состояния термодинамического равновесия (оказывается неравновесной). В ней происходят необратимые процессы, которые могут самопроизвольно протекать только в одном определенном направлении.
Нелинейность означает, что распространяющиеся через систему потоки энтропии изменяют ее параметры в тем большей мере, чем интенсивней эти потоки. Поэтому динамику системы описывают нелинейные модели, например нелинейные дифференциальные уравнения. Они имеют не одно, а несколько возможных решений, а это означает, что система может эволюционировать несколькими путями. Изменение параметров системы способно вызывать ветвление пути эволюции. Сложность означает, что система является иерархией подсистем, образующих целостность. К числу нелинейных систем относятся самые разнообразные: клетка, организм, город, лазер, популяция животных, человеческое общество, государство, социум и т.д.
Определение хаоса в нелинейных системах
В нелинейной динамике важным является понятие хаоса, теория которого была заложена в трудах А. Н. Колмогорова, А. Пуанкаре, И. Р. Пригожина. В обычном понимании хаос есть отсутствие порядка, но он может выступать в роли конструктивного начала в случае, когда движение системы неустойчиво, т.е. когда малые воздействия способны перевести ее в другое макроскопическое состояние либо когда система застигнута вблизи точки бифуркации (точка бифуркации — точка неустойчивого равновесия, когда малейшее изменение параметров системы приводит к потере устойчивости) и флуктуация параметра системы обусловливает выбор ее движения по одному из возможных путей эволюции, что сопровождается или разрушением порядка, или переходом к новому упорядоченному состоянию. Нелинейная динамика должна предсказывать эволюцию системы во времени, учитывая, что одним из свойств нелинейных систем является потеря устойчивости симметрии системы, что приводит к смене режимов их функционирования в точках бифуркаций и катастроф. Под катастрофой понимается гибель одного режима функционирования системы и переход к другому режиму.
Неравновесные открытые диссипативные системы (системы, у которых полная механическая энергия уменьшается, переходя в другие немеханические формы энергии[3]) могут переходить в новое упорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Переход от одного порядка к другому происходит через хаос и неупорядоченное состояние; при этом степень упорядоченности и организованности может возрасти, что особенно характерно для биологических систем.
Если подводимый к системе поток, например энергии, превышает некоторое пороговое значение, при котором компенсируются потери энергии в системе, то в ней происходит самоорганизация. Так, в лазере, когда подводимая к лазерному веществу энергия накачки мала, его атомы испускают свет некогерентно, создавая излучение, характеристики которого изменяются хаотически. Достижение порогового значения приводит (скачком) к возникновению упорядоченной структуры, т. е. волны когерентного излучения, характеристики которой постоянны. Имеет место переход хаос-структура. Дальнейший рост подводимой к лазерному веществу энергии при условии сильных ее потерь способен вызвать переход структура-хаос. Существенно, что такой детерминированный хаос, называемый динамическим, структурен, т. е. обладает той или иной степенью упорядоченности.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан эволюционный оператор, позволяющий решать задачу определения изменения состояния во времени. Описывать эволюцию динамической системы во времени можно по-разному, в зависимости от того, какой аспект ее эволюции представляет интерес для исследователя[1].