Линии на плоскости

(1)

Определение. Пусть на плоскости рассматривается линия L: уравнение (1) называется уравнением линии L, если любая точка на линии L имеет координаты в данной системе координат, которые удовлетворяют уравнению (1). И любая точка, не лежащая на линии L, имеет координаты, неудовлетворяющие уравнению (1).

Определение. Многочленом степени n от двух переменных (x и y) называется сумма, каждое слагаемое которой представляет произведение вида

при этом имеется хотя бы одно слагаемое, удовлетворяющее .

Определение. Уравнение (1), в котором функция представляет собой многочлен степени n от двух переменных, называется алгебраическим уравнением степени n.

Определение. Линии плоскости, описываемые алгебраическими уравнениям степени n, называются алгебраическими линиями n-го порядка.

Пример:

Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой

Лемма

Степень уравнения линии не зависит от выбора системы координат.

Общее уравнение прямой

(2)

Теорема 1

Любое уравнение первой степени от двух неизвестных (2) описывает прямую линию на плоскости. Любая прямая линия на плоскости описывается уравнением первой степени.

◄ Докажем, что (2) уравнение прямой линии. Пусть точки , , , где L – линия, описывающая (2).

Следовательно, три точки лежат на одной прямой. Ввиду произвольности этих точек сделаем вывод, что (2) – уравнение прямой.

Пусть L – прямая на плоскости. Пусть L совпадает с осью в выбранной системе координат: по определению. Это уравнение первой степени. По лемме наша прямая описывается уравнением первой степени в любой другой системе координат.