Переход от уравнения прямой, заданной в виде пересечения плоскостей, к каноническому виду

Пусть

,

не параллельна , тогда

; ;

Если , тогда пусть .

Из этой системы находим значения x₀ и y₀.

Если , пусть

Из этой системы находим значения x₀ и z₀

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые в пространстве могут:

1. быть параллельными;

2. совпадать;

3. пересекаться;

4. скрещиваться.

Пусть

1. Прямые параллельны

(53)

2. Прямые совпадают

(54)

3. Прямые пересекаются

Утверждение.

Прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда

(55)

4. Прямые скрещиваются

скрещиваются не лежат в одной плоскости - не компланарны

(56)

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами и :

.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Найти расстояние от M₁ до L.

Построим параллелограмм на векторах . Очевидно, что расстояние от M₁ до L – высота этого параллелограмма.

L

M₀

M₁

(57)

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

1. 

скрещиваются (выполняется (56)).

Найти расстояние между прямыми

На векторах и построим параллелепипед. Искомое расстояние есть расстояние между гранями параллелепипеда, параллельными векторам и . Найдем высоту параллелепипеда, опущенную на грань векторов :

(58)

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Дано:

1. Прямая и плоскость параллельны.

2. Прямая лежит в плоскости.

3. Прямая пересекает плоскость.

1. Прямая и плоскость параллельны

(59)

2. Прямая лежит в плоскости

(60)

3. Прямая пересекает плоскость

(61)

Точка пересечения прямой и плоскости

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде и общее уравнение плоскости. Для нахождения точки пересечения нужно решить систему:

Координаты точки пересечения

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой L и плоскостью называется угол между прямой L и ее ортогональной проекцией на плоскость .

(62)