6

Плоскость и прямая в пространстве Алгебраические поверхности n-го порядка. Уравнение поверхности n-го порядка

Определение. Уравнение вида

(2)

называется уравнением поверхности , если любая точка поверхности имеет координаты, удовлетворяющие уравнению (2). Любая точка, не лежащая на поверхности , имеет координаты, не удовлетворяющие уравнению (2).

Пример:

,

Определение. Многочленом (полиномом) степени n от трех неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой представляет собой произведение вида , где , причем имеется хотя бы одно слагаемое в этой сумме, для которого .

Во всех определениях - целые числа.

Определение. Уравнение (2) называется алгебраическим уравнением степени n, если в этом уравнении функция является полиномом степени n от трех неизвестных.

Определение. Поверхность , описываемая алгебраическим уравнением степени n, называется алгебраической поверхностью n-го порядка.

Пример:

Поверхность первого порядка

.

Поверхность второго порядка

Уравнение плоскости в пространстве

Лемма

Преобразование системы координат не меняет степень уравнения алгебраической поверхности.

Теорема 4

Любое уравнение первой степени от трех неизвестных описывает плоскость в пространстве. Любая плоскость в пространстве описывается некоторым уравнением первой степени.

◄

1. Рассмотрим уравнение

(33)

Пусть уравнение (33) описывает поверхность .

. Вычтем из (33) данное уравнение:

(34).

Пусть вектор . Из (34)

.

Данное расположение возможно, когда M “бегает” по плоскости) - плоскость.

2. Пусть - плоскость.

Введем систему координат, в которой плоскость совпадает с плоскостью (в силу определения уравнения поверхности). Это уравнение первой степени. В силу леммы плоскость будет иметь уравнение первой степени в любой другой системе координат. ►

Определение

Уравнение (33) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

(33)

Определение

Вектор называется нормальным вектором плоскости с уравнением (33) и (34).

Определение

Уравнение (34) называется уравнением плоскости, проходящей через точку с данным нормальным вектором .

(34).

Неполные уравнения плоскости.

Уравнение (33) называется полным, если (ни один из коэффициентов не равен нулю). В противном случае уравнение (33) называется неполным.

Виды неполных уравнений:

1. 

Какой оси параллельна плоскость, такой переменной нет в уравнении.

2. 

3. 

4. плоскость проходит через начало координат.

5. 

6. 

7. 

8. 

- плоскость, содержащая ось Ox.

9. 

– плоскость, содержащая ось Oy.

10. 

плоскость, содержащая ось Oz

11. 

12. 

13. 

Уравнение плоскости в отрезках

Полное уравнение плоскости:

(33)

Обозначим .

Уравнение плоскости в отрезках

(35)

Геометрический смысл коэффициентов a,b,c:

Найдем точки пересечения плоскости (35) с осями координат.

точка пересечения плоскости (35) с осью Ox.

точка пересечения плоскости (35) с осью Oy.

точка пересечения плоскости (35) с осью Oz.