Решение задачи оптимального уравнения классическим вариационным исчислением
Решается задача:
,
где
и
.
Эта задача есть вариационная задача с неголономными связями.
Необходимые условия
экстремума функциона
ла:
,
.
,
.
В развернутом виде:
,
.
Теперь необходимые условия в развернутом виде:
,
.
Лекция 15
Принцип максимума
Решается задача:
.
Математическое описание процесса:
,
,
.
Формируется формула Гамильтона:
где
подчиняются условиям:
.
Математическое описание процесса, выраженное через функцию:
,
.
Обозначим критерий оптимальности:
.
Заметим что
.
Тогда
.
Формулировка принципа максимума:
Пусть оптимальные уравнения, минимизирующие функционал, найдены.
В этом случае система сопряженных уравнений:
имеет не нулевое решение и при этом будут выполнятся следующие условия:
Функция
принимает максимальное значение, т.е.
.
2.
.
3.
.
Общий алгоритм решения задачи оптимального уравнения с использованием принципа максимума
1. Максимизируется функция по управлениям
.
При этом получают:
.
Подставляют в систему сопряженных уравнений.
Заметим, что для
получения решения этих уравнений нужно
иметь
постоянных интегрирования. Для их
определения нужно иметь
граничных условий. Имеются
граничных условий в постановке задачи
оптимального уравнения и одно граничное
условие для функции
.
Нужно иметь еще одно граничное условие.
Однако, в силу линейности функции H
относительно
,
при максимизации функции
по
одна из функций
может
быть представлена с точностью до
постоянной интегрирования. Учитывая
2-е условие принципа максимума можно
принять само значение функции
неположительным числом.
Принимают:
.
Теперь решение системы сопряженных уравнений может быть найдено.
Решают систему сопряженных уравнений.
В результате решения системы сопряженных уравнений получают:
.
Подставляют функции
и
в функции
и получают оптимальные функции уравнения
.
Оптимальные
функции уравнения можно получать в виде
функций от переменного состояния
,
т.е. как
.
В этом случае задача оптимального уравнения называется задачей синтеза оптимального уравнения.
Запишем в развернутом виде систему уравнений:
.
и необходимое условие максимума функции:
,
как
.
,
Заметим, что
выражение производных
соответствует уравнениям Эйлера,
записанным для функций
,
а условия
соответствует уравнениям Эйлера,
записанным для функций
в классическом вариационном исчислении
при решении задачи оптимального
уравнения.
Пример.
Найти уравнение
,
при котором функционал принимает
минимальное значение.
;
.
Уравнение динамики объекта
Путь на управление не наложено ограничений .
Введем
Составим функцию Гамильтона
.
В развернутом виде
Примем:
;
Сопряженное уравнение
Максимизируем
функцию
Необходимое условие экстремума функции.
.
Подставим в систему сопряженных уравнений
,
.
Решение этих двух уравнений с использованием граничных условий дает:
;
.