38

Лекция 1

Постановка задачи статической оптимизации

,

,

,

, j=1,…,r

где – вектор внешних возмущающих воздействий.

– вектор управляющих воздействий, .

– вектор выходных переменных, .

- заданные значения выходных переменных.

_- область допустимых управлений.

Требуется найти такие значения управляющих воздействий , при которых выполняются условия (2) - (5), критерий оптимальности принимает минимальное (максимальное) значение.

Необходимым условием корректной постановки задачи оптимизации является наличие степеней свободы. Число степеней свободы есть разность между числом искомых функции или переменных и числом уравнений, связывающих эти функции или переменные.

Лекция 2

МЕТОДЫ СТАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

1. Классический метод исследования функций на экстремум.

2. Методы нелинейного программирования:

- численные методы решения одномерной задачи статической оптимизации;

- численные методы решения многомерной задачи статической оптимизации.

3. Линейное программирование.

4. Динамическое программирование в дискретной форме.

Классический метод исследования функций на экстремум

Необходимое и достаточное условие экстремума функции одной переменной .

Необходимое условие:

.

Достаточное условие:

Если при впервые в порядке возрастания k,

,

где k-четное, то имеет экстремум.

Причем, если

,

то ,

а если ,

то .

Если при впервые в порядке возрастания k,

,

где k-нечетное, то не имеет экстремума.

Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных .

Необходимое условие:

, .

Достаточное условие:

Если при все диагональные миноры матрицы :

строго положительны, то функция имеет минимум.

Если при нечетные диагональные миноры матрицы строго отрицательные, а четные диагональные миноры матрицы строго положительные, то функция имеет максимум.

Лекция 3

Аналитическое решение задачи на условный экстремум

- Метод множителей Лагранжа.

- Условие Куна-Таккера

Аналитическое решение задачи на условный экстремум при условиях типа равенства:

,

, ,

, .

Задача решается методом множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа

1. Составляется функция Лагранжа.

,

где - множители Лагранжа.

2. Совместно решается система уравнений:

;

;

Аналитическое решение задачи на условный экстремум при условиях типа неравенства:

,

Задача решается с использованием условий Куна-Таккера.

Условия Куна-Таккера

Рассматривается задача выпуклого программирования

j=1,…,m,

где и выпуклые дифференцируемые функции.

К определению выпуклости функции.

Пусть

Производную точку на линии ab можно описать как a+(b-a)(1- )= a+(1- )b

т.е. при = 0 это точка b, а при = 1 это точка а.

Теперь рассмотрим нелинейную функцию

Значение функции в точке есть

Значение линейной функции, проходящей через точки a и b, в точке с равно

Сравнивая значения исходной функции с линейной функцией в точке с можно записать условие выпуклости функции:

Если имеет место ,то исходная функция выпукла (лежит ниже линейной функции на отрезке [ab])

Алгоритм решения задачи.

1. Составляется функция Лагранжа:

,

где - множители Лагранжа.

2. Совместно решается система уравнений и неравенств:

,

,

,

,

Пример 1

Условия Куна-Таккера:

j=1,2…;

Решение

Пусть λ=0, тогда .

Ограничение в точке (U₁=0; U₂=0) пассивно.

Пусть , тогда

т.к. λ>0, то U₁<0

, U₂<0

В этом случае не выполняется условие .

Пример 2

или

Условия Куна-Таккера:

Пусть λ^*=0, тогда

;

,

(не выполняется)

Пусть

Тогда

Ограничение в точке активно.

Лекция 4

Численные методы решения одномерных задач статической оптимизации

• Сканирования (с постоянным и переменным шагом).

• Половинного деления исходного интервала, содержащего

экстремум.

• «Золотого сечения».

• С использованием чисел Фибоначчи.

Метод сканирования с постоянным шагом

Функция , .

Алгоритм поиска:

1. Задается точность вычисления оптимального значения

.

2. Интервал делится на отрезков, .

3. В каждой точке вычисляется функция и выбирается из условия , или

Метод сканирования с переменным шагом

Функция , .

Алгоритм поиска:

1. Задается точность .

2. Интервал делится на отрезков .

3. В каждой точке вычисляется функция и выбирается из условия , или .

4. Назначают границы нового интервала поиска и из условия:

, ,

где и есть значения, соседние с .

При максимизации функции :

;

При минимизации функции :

.

5. С п.2 расчет повторяют для интервала , ,…, .

6. Расчет заканчивают при условии: .

Метод половинного деления

, .

Рис. Поиск методом половинного деления

Алгоритм поиска:

1. Делится интервал пополам .

2. Внутри интервала выбирают две точки: и ,

где .

3. Рассчитывают и

4. Определяют границы нового интервала и .

Если ,

то при выбираем , ;

при выбираем , .

Если ,

то при выбираем , ;

при выбираем , .

5. Проверяют условие окончания поиска .

6. Пункты 1-4 выполняют для каждого нового интервала до условия .

Лекция 5