3.2.1. Методы задания ск

СК можно задать:

1. Порождающей матрицей, как и для блоковых кодов. В общем

случае, порождающая матрица для СК полубесконечная, т.к. входная последовательность полубесконечная.

2. Эквивалентным набором из n векторов g_i, i=1,2…n; один вектор для каждого из n сумматоров по mod 2.

Каждый вектор имеет размерность K∙k и содержит информацию о соединениях РС с сумматорами по mod 2. Единица в i- й позиции вектора указывает на подключение ячейки РС к сумматору по mod 2, а нуль в данной позиции указывает на отсутствие этого подключения.

Пример 1. Пусть задан двоичный свёрточный кодер с кодовым ограничением K = 3 при k = 1, n = 3, рис.3.13.

Найдем вектора g_i ,задающие СК.

Пронумеруем функциональные генераторы и их выходы в соответствии с порядком считывания мультиплексором (1,2,3). С первым функциональным генератором соединена только первая ячейка РС (сумматор по mod 2 не нужен) и этот генератор можно задать вектором: g₁ = [100]. Второй функциональный генератор соединён с ячейками 1 и 3, следовательно, g₂ = [101], а g₃ = [111].

В результате кодер генерирует СК, определяемый векторами g_i.

В исходном состоянии все ячейки РС находятся в нулевом состоянии. Допустим, что первый входной бит «1». Он без задержки появится на выходе первой (левой) ячейки регистра и, соответственно, на всех трёх входах выходного ключа (мультиплексора). Ключ поочередно выдаёт содержание входов, и выходная последовательность состоит из трёх бит 111. Допустим, что второй входной бит «0». Он записывается в первую ячейку регистра и проталкивает предыдущий бит «1» во вторую ячейку – и на выходе мультиплексора сверху вниз появляется «0», «0» и «1». Т. е. вторая выходная последовательность 001. Если третий входной бит «1», то выходная последовательность 100 – и т.д. Таким образом, в ответ на каждый входной бит (при k =1) свёрточный кодер откликается тремя битами (по числу функциональных генераторов n =3).

Совокупность n генераторов (порождающих полиномов), обычно задают в восьмеричной форме как g = (4,5,7). Таким образом, чтобы задать кодер при k =1 требуется n генераторов, каждый размерностью К. В общем случае при k >1 и кодовом ограничении К эти n генераторов отображаются Кk-мерными векторами g_i.

Пример 2. Пусть задан сверточный кодер рис.3.14.

Рис. 3.14. Сверточный кодер с параметрами: К=2, k=2, n=3.

СК имеет скорость кода 2/3. В кодере каждый такт поступают два бита на вход регистров сдвига, а на выходе генерируется 3 бита. Генераторы определяются векторами: g₁=[1011], g₂=[1101], g₃=[1010]. В восьмеричной форме g = (13, 15, 12).

3.2.2. Методы описания СК

Имеется три метода, используемые для описания СК: древовидная диаграмма, решетчатая диаграмма и диаграмма состояния.

Древовидная диаграмма для кодера Рис. 3.13 с параметрами К=3, k=1, n=3 приведена на рисунке 3.15. Предположим, что кодер находится первоначально в нулевом состоянии (нули во всех ячейках). Диаграмма показывает, что если первый входной бит 0, то выходная последовательность 000.

Рис.3.15 Древовидная диаграмма для СК со скоростью 1/3

(К=3, k=1, n=3).

Если первый входной бит «1» - выходная последовательность –111. Теперь, если первый входной 1, а второй 0 – то второй набор выходных битов 001. Продвигаясь по дереву состояний видим, что если третий входной бит 1, то выход 100.

Отметим, что частная входная последовательность обуславливает выбор узла дерева. При этом правило движения по ветвям дерева такое, что надо двигаться по верхней ветви, если следующий входной бит 0 и по нижней, если следующий бит 1.

Таким образом, траектория частного пути по дереву определяется входной последовательностью. Из анализа дерева видно, что структура повторяет себя после третьего такта. Правый столбец выходных «троек» бит распадается на две одинаковые совокупности по восемь троек. Это поведение согласуется с тем фактом, что кодовые ограничения К=3. Это значит, трёх - битовые выходные последовательности на каждом такте определяются входным битом и двумя предыдущими входными битами, т.е. двумя битами, содержащимися в первых двух ячейках РС. Бит в последней ячейке регистра сдвига перемещается направо (покидает регистр) и не влияет больше на выход. Можно сказать, что трёх - битовая последовательность выхода для каждого входного бита определяется входным битом и четырьмя возможными состояниями РС, обозначенными а=00, b=01, с=10, d =11. Если пометить узлы дерева этими же метками, найдём, что на третьем такте имеется два узла с пометкой «а», два с пометкой «b», два с пометкой «с» и два с пометкой «d». Теперь видим, что все ветви, исходящие из двух узлов с одинаковой меткой (с одинаковым состоянием) генерируют одинаковые выходные последовательности. Это означает, что два узла, имеющие одинаковую метку, можно слить и получить решетчатую диаграмму, рис 3.16.

Рис. 3.16. Решетчатая диаграмма для СК со скоростью 1/3 (К=3, k=1, n=3).

Согласно правому столбцу (рис.3.15) в исходном нулевом состоянии РС:

- на такте t₁ (рис.3.16) из состояния «а» генерируются (в зависимости от входного бита) две последовательности: «000» и «111», которые определяют состояния «а» и «с»;

- на такте t₂ из состояния «с» генерируются «001» и «110», которые определяют состояния «b» и «d» соответственно, из которых генерируются соответственно:

-из «b» → «011», который определяет переход в состояние «а»;

→ «100», который определяет переход в состояние «с»;

-из «d» → «010», который определяет переход в состояние «b»;

→ «101», который определяет переход в состояние «d» и т. д.

Поскольку выход кодера определяется входом и состоянием кодера, ещё более компактной, чем решётка является диаграмма состояний, рис.3.17.

Рис.3.17. Диаграмма состояний для СК со скоростью 1/3 (К=3, k=1, n=3).

Если обозначить α β переход из состояния α в β, когда входной бит 1, то эта диаграмма показывает, что возможные переходы таковы:

а а, а с, b а, b с, с b, с d, d b, d d.

Три бита, показанных на каждой ветви диаграммы состояний, представляют выходные биты кодера. Пунктирная линия на графе означает, что входной бит 1, а сплошная линия - бит ноль.

Найдем распределение весов и кодовое расстояние для СК.

3.2.3. Передаточная функция СК

Так как СК линейный, то набор расстояний Хемминга между кодовы-

последовательностями (КП), генерируемыми на определённом шаге дерева, определяется относительно КП из одних нулей. Пусть входом кодера является нулевая последовательность. Пометим ветви на диаграмме состояний рис. 3.17 как D⁰, D¹, D² и D³. Показатель у D означает расстояние Хемминга между выходной КП соответствующей ветви и выходной КП ветви из одних нулей. Собственную петлю у узла «а» можно исключить. Далее узел «а» расщепим на два узла, один из которых представляет вход «а», а другой выход «е» состояния и получим диаграмму рис. 3.18.

Рис.3.18. Диаграмма состояний для СК со скоростью 1/3 (К=3, k=1, n=3).

Для этой диаграммы можно написать четыре уравнения состояния:

Х_с=D³Х_а+DХ_b; Х_b=DХ_с+DХ_d;

Х_d=D²Х_с+D²Х_d; Х_е=D²Х_b. (3.53)

Передаточная функция кода определяется как Т(D)=Х_е /Х_а .

Решив эти уравнения относительно Х_e и Х_a и произведя деление полиномов, получим:

Т(D) = D⁶/(1-2D²) = D⁶+2D⁸+4D¹⁰+8D¹²+…= , (3.54)

где, число путей с расстоянием d равно

a_d= ; (3.55)

D⁶ |1-2D²

D⁶-2 D⁸ D⁶+2D⁸+4 D¹⁰+

2D⁸

2D⁸-4D¹⁰

4D¹⁰

4D¹⁰-8D¹²

8D¹² и т.д.

Передаточная функция этого кода показывает, что имеется единственный путь с расстоянием Хемминга d=6 от пути из одних нулей, который сливается с путём из одних нулей при данном узле. Из диаграммы состояний рис. 3.18 видно, что путь с d=6 – это путь асbе. Нет других путей из узла «а» до узла «е», имеющих d=6.

Второе слагаемое в (3.54) указывает, что есть два пути от узла «а» до узла «е», имеющих расстояние d=8. Из диаграммы состояний и решётки видно, что этими путями являются: а с d b е и а с b с b е.

Третье слагаемое указывает, что есть четыре пути с расстоянием d=10 и т.д. Таким образом, передаточная функция дает дистанционные свойства СК.

Минимальное расстояние кода называется минимальным свободным расстоянием СК и обозначается d_св. Для данного СК d_св=6.

Передаточная функция СК дает более детальную информацию о путях, чем только кодовое расстояние между различными путями СК. Покажем это.

Введем множитель N для всех переходов (пересечений) ветвей, вызванных входным битом 1. Тогда, поскольку каждая ветвь пересекается, совокупный показатель N увеличивается на 1 только тогда, когда переход ветви обусловлен входным битом 1. Далее введем множитель J для каждой ветви диаграммы состояний, а показатель у J будет служить счётной величиной, указывающей число ветвей для любого данного пути от узла «а» к узлу «е». Тогда, в нашем примере диаграмма для СК со скоростью 1/3 примет вид рис.3.19.

Рис. 3.19. Диаграмма состояний для СК со скоростью 1/3 (К=3, k=1, n=3).

Уравнения состояний для диаграммы рис. 3.19. имеют вид:

Х_с=JND³Х_а+JNDХ_b; Х_b=JDХ_с+JDХ_d;

Х_d=JND²Х_c+JND²Х_d; Х_е=JD²Х_b (3.56)

Решая эти уравнения и производя деление, получим передаточную функцию:

Т(D,N,J)=J³ND⁶/(1-JND²(1+J))=J³ND⁶+J⁴N²D⁸+J⁵N²D⁸+J⁵N³D¹⁰+

+2J⁶N³D¹⁰+ J⁷N³D¹⁰+…

Эта форма передаточной функции даёт более детальные характеристики всех путей СК. Первое слагаемое в выражении Т(D, N, J) указывает на то, что путь с расстоянием d=6 имеет длину 3 и что из трёх информационных бит один равен 1. Второе и третье слагаемые в выражении Т(D, N, J) указывает на то, что из двух слагаемых с d=8 одно будет длиной 4, а второе длиной 5.Два из четырёх информационных бит в пути длиной 4 и два из пяти информационных бит в пути длиной 5 является «1».

Таким образом:

- показатель множителя J указывает длину пути, который сливается первый раз с путем из одних нулей;

- показатель множителя N указывает число «1» в информационной последовательности для этого пути;

- показатель D указывает расстояние от последовательности кодированных бит этого пути до последовательности с одними нулями.