3 Семестр ИНФ / Teoria

Список теоретических вопросов к итоговому тесту по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

1.1. Дайте определение дискретной случайной величины.

1.2. Пусть ξ – дискретная случайная величина, принимающая значения

X1, X2, ..., Xk , ... с вероятностями P1, P2, ..., Pk , ... . Запишите формулы для нахождения: а) P(ξ B) , где B – промежуток в 1 ;

б) функции распределения Fξ (X) ;

в) математического ожидания Mξ ;

г) дисперсии Dξ ; д) среднеквадратического отклонения σξ ;

е) начального момента k -го порядка αk ; ж) центрального момента k -го порядка µk ;

з) асимметрии Aξ ; и) эксцесса Eξ ;

к) характеристической функции

1.3.Дайте определение двумерного дискретного случайного вектора.

1.4.Пусть (ξ, η) – двумерный дискретный случайный вектор, принимаю-

щий значения (Xi , Y j ) с вероятностями Pij , i, j = 1, 2, ... . Запишите формулы для нахождения:

à) P((ξ, η) B) , где B – измеримая область в 2 ;

б) совместной функции распределения Fξ, η (X, Y) ;

в) одномерных законов распределения Pξ è Pη ;

г) одномерных функций распределения Fξ (X) , Fη (Y) , если задана совмест-

ная функция распределения Fξ, η (X, Y) ;

д) вектора математических ожиданий (Mξ, Mη) ;

е) ковариации COV(ξ, η) ;

ж) коэффициента корреляции ρξ, η ;

з) ковариационной матрицы K и е¸ элементов;

и) корреляционной матрицы R и е¸ элементов;

к) запишите условие независимости случайных величин ξ è η .

1.5.Дайте определение абсолютно непрерывной случайной величины.

1.6.Пусть ξ – абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью

Pξ (X) и функцией распределения Fξ (X) . Запишите формулы для нахождения: а) P(ξ B) , где B – промежуток в 1 ;

б) плотности Pξ (X) , если задана функция распределения в) функции распределения Fξ (X) , если задана плотность г) математического ожидания Mξ ;

д) дисперсии Dξ ; е) среднеквадратического отклонения σξ ;

ж) начального момента k -го порядка αk ; з) центрального момента k -го порядка µk ;

м) характеристической функции

1.7.Дайте определение двумерного абсолютно непрерывного случайного

вектора.

1.8.Пусть (ξ, η) – двумерный абсолютно непрерывный случайный вектор с плот-

ность совместного распределения Pξ, η (X, Y) и функцией совместного распределения

Fξ, η (X, Y) . Запишите формулы для нахождения:

à) P((ξ, η) B) , где измеримая область в 2 ;

б) совместной функции распределения Fξ, η (X, Y) , если задана плотность со-

вместного распределения Pξ, η (X, Y) ;

в) плотности совместного распределения Pξ, η (X, Y) , если задана совместная

функция распределения Fξ, η (X, Y) ;

г) одномерных плотностей распределения Pξ (X) è Pη (Y) , если задана плот-

ность совместного распределения Pξ, η (X, Y) ;

д) одномерных функций распределения Fξ (X) , Fη (Y) , если задана совмест-

ная функция распределения Fξ, η (X, Y) ;

е) вектора математических ожиданий (Mξ, Mη) ;

ж) ковариации COV(ξ, η) ;

з) коэффициента корреляции ρξ, η ;

и) ковариационной матрицы K и е¸ элементов;

к) корреляционной матрицы R и е¸ элементов;

л) запишите условие независимости случайных величин ξ и η в терминах функции распределения;

м) запишите условие независимости случайных величин ξ и η в терминах плотности распределения.

1.9.Дайте определение функции распределения Fξ (X) случайной величины

ξ, перечислите е¸ свойства. Запишите формулы для вычисления с помощью функции распределения следующих вероятностей:

1.10. Основные дискретные распределения а) геометрическое распределение.

б) биномиальное распределение. в) распределение Пуассона.

г) гипергеометрическое распределение.

Замечание. Распределения описывать по плану: вероятностная схема, приводящая к распределению, формулы для ряда распределения, математического ожидания, дисперсии, характеристической функции.

1.11. Основные абсолютно непрерывные распределения а) равномерное распределение.

б) показательное распределение. в) нормальное распределение. г) распределение хи-квадрат.

д) распределение Стьюдента.

е) распределение Снедекора-Фишера.

Замечание. Распределения описывать по плану: записать формулы для плотности распределения, функции распределения, математического ожидания, дисперсии, характеристической функции (для распределений г), д), е) знать только определение соответствующей случайной величины).

1.12. Запишите общую формула для вероятности суммы двух (тр¸х) собы-

òèé.

1.13.Дайте определение несовместных событий. Запишите формулу для вероятности суммы несовместных событий.

1.14.Запишите формулу для вероятности произведения зависимых собы-

òèé.

1.15.Дайте определение независимых событий. Запишите формулу для вероятности произведения независимых событий.