Решение уравнений Максвелла для установившегося переменного электромагнитного поля.
Полагая
в 1 уравнении Максвелла
= 0, мы, тем самым, сужается область
рассмотрения э/м полей установившимися
процессами. Пусть отсутствуют объемные
заряды δ и сторонние поля.
В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид:
rot
=
.
(22)
rot
=
.
(23)
div = 0. (24)
div = 0. (25)
Переменные электромагнитные поля, описываемые этими уравнениями, могут быть как периодическими полями, так и апериодическими полями.
В индуктивных методах электроразведки изучаются в основном периодические поля. Переменные электромагнитные поля, с которыми чаще всего имеют дело в электроразведке, изменяются по законам, близким к законам гармонических колебаний.
Всякий периодический процесс, согласно преобразованиям Фурье, разлагается на сумму гармонических процессов, которые можно представить в виде гармонических колебаний (гармоник):
a·sin(ωt + φ) или a·cos(ωt + ψ), (26)
где а – амплитуда соответствующей гармоники, ω – круговая частота (ω = 2πf), t – время, φ и ψ – начальные фазы.
Аргументы у синуса и косинуса, т.е. (ωt + φ) и (ωt + ψ), называют фазами колебаний.
Поскольку представление гармонического колебания выражениями, содержащими синус и косинус равноценны, то обычно рассматривают выражение содержащее косинус. Вместо использования тригонометрических функций в записи колебания удобнее перейти к комплексной форме записи колебания.
Согласно формуле Эйлера:
,
(27)
всякий гармонический процесс (колебание) можно записать в виде:
(28)
Вещественная
часть комплексного числа Re(
)
представляет собой гармоническое
колебание, записанное в тригонометрической
форме, т.е.
.
Поэтому показатель степени экспоненты
можно выбрать с любым знаком. Для удобства
возьмем минус. Тогда гармонически
изменяющийся процесс представляется
в виде:
,
(29)
где амплитуда М0 может быть как действительной, так и комплексной величиной.
Комплексная запись гармонического процесса позволяет пользоваться удобным символическим методом вычислений, который заключается в том, что для взятия производной n – го порядка по времени от функции достаточно эту функцию М умножить n раз на величину (-iω).
Например:
,
(30)
,
(31)
Учитывая вышесказанное, гармонически меняющееся электромагнитное поле можно написать в виде:
,
(32)
.
(33)
Тогда система уравнений Максвелла для комплексных амплитудных векторов и примет вид:
rot
=
+
(-iω)
=
(
-
=
,
(34)
rot
=
=
,
(35)
div = 0, (36)
div = 0. (37)
Чтобы от комплексных амплитудных векторов и в системе Максвелла перейти к полным выражениям величины поля, надо их умножить на множитель е-iωt.
В
системе уравнений Максвелла символами
и
обозначены комплексная электропроводность
и комплексная индуктивность (комплексная
магнитная проницаемость).
=
-
,
(38)
=
.
(39)
Применим операцию div к уравнениям (34) и (35), т.е. к уравнениям: rot = и rot =
В результате, получим:
div
rot
=
,
(40)
div
rot
=
.
(41)
Воспользуемся формулами:
div
= (
·
)
=
+
+
;
(42)
rot
= (
-
)
+ (
-
)
+ (
-
)
.
(43)
В результате получим:
div
rot
=
(
-
)
+
(
-
)
+
(
-
)
=
-
+
-
+
-
= 0. (44)
Или запишем в виде:
div rot = = 0, (45)
div rot = = 0, (46)
Откуда
следует, что
= 0;
=
0. (47)
Таким образом, из первого и второго уравнений системы Максвелла, получаем, соответственно, 3 и 4 уравнения той же системы.
Следовательно, достаточно найти решения уравнений системы (34) и (35), т.е.
rot
=
,
(48)
rot
=
.
(49)
Эти уравнения являются основными уравнениями гармонического поля в однородной среде.
Приведем уравнения (48) и (49) к форме удобной для их решения.
Для этого применив к ним вихревую дифференциальную операцию, т. е.
rot
rot
=
,
(50)
rot
rot
=
.
(51)
Подставим в правую часть уравнений (50) и (51) значения rot и rot из выражений (48) и (49).
В результате получим:
rot
rot
=
,
(52)
rot
rot
=
,
(53)
Введем
обозначение:
=
2.
Где
=
- волновое
число.
Таким образом, получим:
rot rot = 2 , (54)
rot rot = 2 . (55)
Так как операция rot, дважды примененная к вектору равна:
rot rot = grad div - Δ , (56)
то выражения (54) и (55) примут вид:
rot rot = grad div - Δ , (57)
rot rot = grad div - Δ . (58)
Так как div = 0 и div = 0, то получим: (59)
rot rot = - Δ , (60)
rot rot = - Δ . (61)
После подстановки уравнений (60) и (61) в систему уравнений (54) и (55) получим волновые уравнения для магнитного и для электрического полей вида:
Δ = - 2 , (62)
Δ = - 2 . (63)
Оба волновые уравнения и для и для идентичны.
Волновые уравнения (62) и (63) являются векторными уравнениями.
Магнитные и электрические компоненты переменного электромагнитного поля являются компонентами единого электромагнитного поля. Они взаимно зависимы и связаны посредством основных уравнений поля:
rot = , (48)
rot = . (49)
Вместо шести уравнений достаточно решать 3 волновых уравнения для трех независимых компонент вектора напряженности магнитного поля или вектора напряженности электрического поля .
Рассмотривается вектор напряженности магнитного поля , который удовлетворяет волновому уравнению:
Δ = - 2 (64)