Лабораторная работа № 1. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Лабораторная работа № 2. Выполнение арифметических операций над целыми и вещественными числами.
Лабораторная работа № 3. Представление числовой информации в цифровых автоматах.
Лабораторная работа № 4. Выполнение арифметических операций над целыми и вещественными числами.
Лабораторная работа № 5. Блок-схемный метод алгоритмизации. Программирование линейного и разветвленного вычислительного процесса.
Лабораторная работа № 6. Программирование циклического вычислительного процесса.
Лабораторная работа №1 Тема: "Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую."
Цель работы: изучить способы переводы чисел из одной системы счисления в другую, получить навыки выполнения арифметических операций в разных системах счисления.
Краткие теоретические сведения.
Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемыми цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел.
Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;
однозначность представления;
краткость и простоту записи чисел;
легкость овладения системой; а также простоту и удобство оперирования ею.
Обычно числа записываются или произносятся как некоторая последовательность условных знаков, называемых цифрами. Такую запись числа называют сокращенной. Например, число A кратко записывается так:
A= an-1 an-2 ... ai ... a1 a0, a-1 a-2 ... a-m. (1)
Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом. Всего в числе A (m + n) разрядов. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.
Все системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные. Наиболее древними системами счисления являются непозиционные. Для этих систем значение одноимённых цифр, где бы они ни располагались в числе, будут одинаковыми.
Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные. Иероглифические ― это такие системы счисления, у которых каждая цифра представлена своим символом, значком или иероглифом. Наиболее известной из них является римская система счисления. Значение числа, записанного в римской системе счисления, определяется как сумма записанных подряд цифр, причем, если слева от цифры стоит меньшая, то значение последней принимается со знаком минус, например, IX=9(10); XI=11(10), то есть здесь существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В настоящее время римская система используется, в основном, для целей нумерации. Запись числа в алфавитных системах строится по такому же принципу.
К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:
отсутствие нуля;
необходимость содержания бесконечного количества символов;
сложность арифметических действий над числами.
Позиционные системы счисления.
Систему счисления называют позиционной, если значение цифры определяется её позицией в последовательности цифр, изображающих число. В качестве последовательности цифр системы счисления можно использовать набор 0, 1, …, p-1. Совокупность всех цифр системы счисления называется её базой. Количество цифр равно основанию системы счисления p.
Значение цифры на любой i-й позиции равно произведению ai * pi, где i – номер позиции в числе, p – основание системы счисления, pi – вес цифры i-го разряда.
Основание системы счисления, с одной стороны, определяет количество различных цифр, допустимое для данной системы счисления, а с другой – число, показывающее, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.
Для позиционных систем счисления значение числа можно представить полиномом вида
A = an-1 pn-1 + an-2 pn-2 + ... + a1p + a0 + a-1 p-1 + ... + a-m p-m
или A =
.
(2)
Представление числа в виде суммы значений его цифр (2.2) называется развернутой записью.
Обычно число записывается в сокращенном виде:
A = an-1 an-2 ... ai ... a1 a0, a-1 a-2 ... a-m (p),
а название системы определяет ее основание p: десятичная, двоичная, восьмеричная и т.д. Очевидно, что основанием системы счисления может быть любое число. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления.
Наиболее простым примером позиционной системы счисления является десятичная система. Название “десятичная” объясняется тем, что в десятичной системе любое число выражается упорядоченной последовательностью десяти разных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции и местоположения в числе. Например, в десятичном числе 74,9(10) цифра 7 выражает количество десятков, цифра 4 - количество единиц, а цифра 9 ― количество десятых долей единицы. При этом цифра 7 имеет наивысший вес и называется старшей цифрой числа, а цифра 9 ― наименьший вес и называется младшей цифрой этого же числа. Различие весов цифр в числе 74,9 станет очевидным, если это число записать в развернутом виде:
74,9(10) = 7·101 + 4·100 + 9·10-1,
в котором число 10 – основание системы счисления.
В дальнейшем, для простоты изложения будем использовать термин “система счисления”, имея в виду позиционные системы счисления.