Лабораторные работы / Metod_D-razbienia_lab_pr
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
И. Е. ДАВЫДОВ
РАСЧЁТ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ПЛОСКОСТИ ТАНГАЖА (РЫСКАНИЯ)
Учебное пособие
С А М А Р А
2012
УДК 629.78 (075) ББК 39.6
Автор: Давыдов Игорь Евгеньевич
Компьютерная вѐрстка И. Е. Давыдов
Давыдов, И. Е. Расчёт областей устойчивости летательного аппарата в плоскости тангажа (рыскания) [Текст] :
учеб. пособие / И. Е. Давыдов; Минобрнауки России, Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королѐва (Нац. исслед. ун-т). - Самара, 2012. – 20с.
Излагается методика выполнения работы, целью которой является построение областей устойчивости для различных летательных аппаратов. Данная работа предназначена для выполнения лабораторных и курсовых работ по исследованию областей устойчивости летательного аппарата в плоскости тангажа (рыскания) методом D-разбиения и выбора параметров автомата стабилизации. Данный модуль предназначен для дистанционной формы обучения студентов старших курсов, магистров и аспирантов по специальностям: 160100.65 «Самолѐто- и вертолѐтостроение» (дисц. «Теория автоматического управления», 3курс), 160400.65 «Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов» (дисц. «Системы управления ЛА», 5 курс), 220305 «Автоматизированное управление жизненным циклом продукции» (дисц. «Теория автоматического управления», 4 курс), 220306 «Компьютерные системы управления качеством автоматизированных производств» (дисц. «Теория автоматического управления», 4 курс) по кафедре космического машиностроения.
Подготовлено на кафедре космического машиностроения. Интерактивные материалы представлены по адресу http://fla.ssau.ru/moodle/course/
© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2012
3
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ
Д-РАЗБИЕНИЯ
1.1.Цель работы
Целью работы является исследование областей устойчивости
летательного аппарата в плоскости тангажа (рыскания) методом D-разбиения
и выбор параметров автомата стабилизации.
ЭТАПЫ РАБОТЫ
1.Ознакомление с физической постановкой задачи.
2.Выбор исходных данных согласно коду варианта задания.
3.Построение областей устойчивости по каналу тангажа (рыскания) в
параметрах автомата стабилизации для различных моментов времени полета (решение задачи на ПЭВМ).
4.Определение области параметров автомата стабилизации,
обеспечивающей устойчивость летательного аппарата в плоскости тангажа (рыскания) на заданном участке полета.
5.Выбор численных значений параметров автомата стабилизации из заданной области устойчивости.
6.Подготовка отчета по лабораторной работе.
7.Сдача зачета по лабораторной работе.
1.2.Определение устойчивости при изменении одного из параметров системы
Все методы, кроме методов Д-разбиения и метода модального формирования динамических свойств позволяют определять устойчивость при каких-то значениях параметров. Построение области при изменении какого-либо параметра связано с большой трудоѐмкостью. Эти методы не позволяют выделить область изменѐнных параметров, при которых система устойчива.
4
Метод Д-разбиения и метод модального формирования позволяют выделить целую область изменяемых параметров, при которых система устойчива. Рассмотрим подробнее метод Д-разбиения.
Д-разбиение – это линия, которая делит плоскость параметров на различные области, в которых имеются корни с различными значениями в вещественной части.
Пусть система описывается дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение которого:
a |
pn a |
pn 1 ... a |
p a |
|
0 |
(1) |
n |
n 1 |
1 |
0 |
|
|
|
a0, a1, ...,an — параметры, характеризующие свойства системы.
Пусть — изменяемый параметр в уравнении (1). Пусть линейно входит в уравнение (1). p j . Тогда (1) предстанет в виде:
P( ) Q( ) 0.
P( ) C( ) jB( ).
Q( )
C( ) , B( ) — комплексная плоскость (плоскость параметров).
Кривая Д-разбиения — кривая, которая разбивает плоскость на несколько областей. Кривая Д-разбиения, построенная в плоскости
параметров, соответствует оси мнимых корней уравнения (см. рисунок 1). А так как при
изменении корни |
уравнения, |
|
соответствующие |
устойчивой |
системе |
автоматического |
управления, располагаются |
|
слева относительно оси мнимых корней, то при построении Д – разбиения область устойчивости штрихуется слева. Эта кривая разделяет область параметров на несколько областей, соответствующих различным значениям корней характеристического уравнения. Наиболее вероятным претендентом на устойчивость является область S . Чтобы удостовериться в этом, в уравнении (1) численные значения параметра задают из области S . Если система окажется устойчивой при этом значении фиксированного параметра,
то S является областью устойчивости. Так как физические параметры системы не комплексные, а вещественные, численное значение выбирается от А до В по вещественной оси C( ) .
5
1.3.Определение области устойчивости при изменении двух параметров
Во многих случаях при исследовании на устойчивость возникает необходимость определения устойчивости при изменении двух параметров.
Пусть изменяемыми параметрами являются ν и τ. Постановка задачи: определить область устойчивости при изменении двух параметров.
Представим характеристический полином в виде:
P( p) Q( p) R( p) 0 |
(2) |
|
Q( p) - полином, который содержит варьируемый параметр τ; |
|
|
P( p) - полином, который содержит варьируемый параметр ν; |
|
|
Q( p) - полином, который не содержит ни τ, ни ν; |
|
|
Полагаем, что τ и ν входят линейно в уравнение (2). |
|
|
P( j ) Q( j ) R( j ) 0 |
(3) |
|
p j . |
|
|
P( j ) P ( ) jP ( ) , |
|
|
1 |
2 |
|
Q( j ) Q1 ( ) jQ2 ( ) , |
(4) |
|
R( j ) R1 ( ) jR2 ( ) ; |
|
|
Подставляя (4) в (3), получаем два уравнения:
вещественное уравнение:
P ( ) Q ( ) R ( ) 0 , |
|
||
1 |
1 |
1 |
|
|
мнимое уравнение: |
(5) |
|
P2 ( ) Q2 ( ) R2 ( ) 0 .
Имея два уравнения с двумя неизвестными можно найти параметры τ и ν
|
1 |
; |
|
2 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
P ( ) |
Q ( ) |
|
|
||
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
P ( ) |
Q ( ) |
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
.
, |
1 |
|
|
R ( ) |
Q ( ) |
|
, |
2 |
|
|
P ( ) |
R ( ) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
R2 ( ) |
Q2 ( ) |
|
|
|
|
|
P2 ( ) |
R2 ( ) |
|
ν |
(1) |
ν |
(2) |
|
|
<0 |
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
τ |
|
|
Рисунок 2 – Определение границы области устойчивости методом Д-разбиения |
|||||
При некоторых значениях ω главный определитель |
может обратиться |
||||
в ноль. Если |
одновременно |
будет |
1 0 и |
2 0 , то |
в этом случае на |
6
плоскости параметров будет отображаться не точка, а прямая, которая называется особой прямой. Это бывает при ω=0 или .
И в уравнении (5) каждое из уравнений отличается на постоянный множитель (система вырождается).
Штриховка особой прямой проводится таким образом, чтобы заштрихованные части были направлены друг к другу (2) или друг от друга
(1).
Пример:
Т1= ν; Т2=1с; Т3=10с; К+1=τ;
Необходимо определить область устойчивости, когда два параметра τ и ν варьируются.
10 p3 (11 10) p2 ( 11) p 0 , p j ,
10 j 3 (11 10) 2 ( 11) j 0 ;
11 2 10 2 0 ,
10 3 11 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
10 2 |
1 |
|
|
10 |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
10 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
10 2 |
1 |
|
11 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
11 2 |
10 2 |
|
|
121 |
3 |
10 |
2 |
(10 |
3 |
) 121 |
3 |
100 |
5 |
10 |
3 |
111 |
3 |
100 |
5 |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(10 |
3 |
) |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
; |
111 3 100 5 |
|
100 4 |
111 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3 |
10 2 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
10 3 |
10 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
νустойчивая
0 |
САУ |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
-11 |
|
Рисунок 14.4 – Область устойчивости |
||
устойчивая |
τ |
|||
ω=0, |
ν=-11, τ=0. |
|||
|
||||
САУ |
|
|||
ω= , ν=0, |
τ= . |
|||
0,1 |
||||
1.4.Определение областей устойчивости летательного аппарата в плоскости тангажа (рыскания) методом D-разбиения и выбор параметров автомата стабилизации
Устойчивость движения летательного аппарата (ЛА) есть его свойство
реагировать малыми изменениями кинематических параметров движения на
7
малые возмущения. Существует много различных определений устойчивости движения, наиболее распространенным из которых является определение устойчивости, данное А.А. Ляпуновым. Исходя из этого определения,
система "летательный аппарат – автомат стабилизации" будет устойчивой,
если корни характеристического полинома системы имеют отрицательные вещественные части (рис.1.).
При этом рассматривается свободное возмущенное движение системы при некоторых произвольных начальных отклонениях от невозмущенного движения. Поэтому под устойчивостью невозмущенного движения ЛА понимается его способность вернуться на программную (невозмущенную)
траекторию после прекращения действия возмущений. При расчете и проектировании автомата стабилизации (АС) летательного аппарата (ЛА)
обычно исследуют влияние различных конструктивных параметров ЛА и параметров АС на устойчивость системы ЛА – АС. С этой целью строят области устойчивости по двум параметрам при фиксированных значениях остальных параметров (Рис.2). Плоскость исследуемых параметров подвергается так называемому D-разбиению с помощью кривой, являющейся границей области, характеристический полином которой имеет корни с отрицательной вещественной частью.
8
Рисунок 2 – Области устойчивости параметров а0, а1 АС в функции времени
Рассматривая устойчивость движения ЛА в плоскости тангажа
(рыскания) линеаризованные уравнения возмущенного движения запишем в виде /1, 2/:
y СY СYY y CY 0,
|
|
|
|
С |
|
y |
C |
|
0 |
|
|
(6) |
|
|
С |
|
Y |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Дополним систему уравнений (1) линеаризованным уравнением АС: |
||||||||||||
|
2 |
|
1 а0 а1 а2 y a3 y |
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
СY ,СYY ,CY ,С ,С Y ,C |
- |
коэффициенты, |
характеризующие |
|||||||||
собственную |
|
динамику |
|
|
|
|
- отклонение |
угла |
тангажа, угловой |
||||
|
|
ЛА; , |
|||||||||||
скорости от программных значений; |
y, y |
- линейное отклонение центра масс |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛА |
и ее скорости |
от |
программных |
значений; |
- |
угол отклонения |
|||||||
9
управляющих двигателей в плоскости тангажа (рыскания); а0 , а1 , а2 , a3 -
передаточные числа АС по соответствующим входным сигналам; 2 , 1 -
коэффициенты, характеризующие динамические свойства АС.
Области устойчивости строятся на плоскости параметров АС а0 и а1 на основе метода D-разбиения по характеристическому полиному системы уравнений (6), (7).
Алгоритм расчѐта областей устойчивости методом D-разбиения состоит в следующем:
1.На основе уравнений (6) и (7) создается матрица замкнутой системы
"ЛА – АС" возмущенного движения системы /2/:
|
p 2 pC |
YY |
|
p 2 |
C |
Y |
|
|
C |
Y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
pC |
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|
0. |
(8) |
||||||
|
a |
|
Y |
|
|
|
a |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
1 |
|
||
|
2 |
pa |
3 |
|
0 |
pa |
2 |
p |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Вычисляется характеристический полином созданной матрицы (8) :
6 |
|
|
p i xi |
0, |
(9) |
i 0
где xi - коэффициенты характеристического полинома, равные:
3.Введем подстановку p j и разрешим уравнение характеристического полинома (9) относительно параметров АС а0 и а1, получим:
a0 S a1Q R 0, |
|
A A1 jA2 , |
(10) |
A S,Q, R,
где S, Q, R – элементы характеристического полинома (9);
4.Приравняв в уравнении (10) нулю отдельно действительную и мнимую части (А1( ), А2( )), вычислим параметрическое уравнение линии D-
разбиения в плоскости параметров а0 и а1:
a |
|
S |
|
a Q |
R 0; |
|
||
|
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0; |
(11) |
a0 S 2 |
a1Q2 R2 |
|
||||||
10
где
S1 C 2 ;
S 2 C Y CY C CYY ; Q1 2 C Y CY C CYY ;
Q2 C 3 ;
R1 6 2 4 2 C 1CYY 1 2 C a2 CY CYY 1 CYY C C Y CY |
||||||||||||||
|
a2 C CY CY C ; |
|
||||||||||||
R2 5 1 2 CYY 3 1C a3 CY 2 CYY C C Y CY |
||||||||||||||
|
CYY C C Y CY a3 |
CY C C CY ; |
||||||||||||
5. Запишем систему уравнений (6) в матричной форме: |
||||||||||||||
|
S1 |
|
Q1 |
R1 |
|
0, |
|
|
(12) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
S 2 |
|
Q2 |
R2 |
|
|
|
|
|
|||||
тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a0 |
|
R1Q2 R2 Q1 |
; |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1Q2 |
S 2 Q1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||||
|
|
|
|
a1 |
|
|
S1 R2 S 2 R1 |
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1Q2 |
S 2 Q1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.Изменяя частоту , вычисляем значения кривой (а0( ), а1( ));
7.При построении графика области устойчивости (Рис.2) по оси абсцисс откладывается а1, по оси ординат – а0. Далее производится штриховка кривой D-разбиения по следующему правилу. Если при движении по этой кривой в сторону возрастания главный определитель системы (11)
отрицателен, то кривую штрихуют справа. Замкнутая область покрытая наибольшим числом штриховок, будет областью устойчивости, если таковая в рассматриваемый момент времени имеется;
8.После определения границы области устойчивости (Рис.2) производится выбор численных значений параметров АС (а0, а1) – значений рабочей точки (а0, а1).
9.Рабочая точка должна находиться в области устойчивости и, при этом, на некотором удалении от границы области устойчивости. Это расстояние