Лабораторные работы / Lektsia_-_metod_modalnogo_formirovania

ЛЕКЦИЯ. МЕТОД МОДАЛЬНОГО ФОРМИРОВАНИЯ

1. Уравнения возмущённого движения РКН. Коэффициенты уравнений

Во время работы двигателей масса РКН уменьшается, так что РКН является телом переменного состава. При выводе уравнений движения применяется принцип затвердевания. Руководствуясь этим принципом,

уравнения движения РКН в произвольный момент времени записываются как уравнения движения твердого тела постоянного состава (для того же момента времени), включив в число внешних сил реактивные и кориоли-

совы силы.

Уравнения движения центра инерции (центра масс) и вращения относительно центра инерции (центра масс) в векторной форме имеют вид

(1.5), (1.6).

Наличие плоскостей симметрии РКН дает возможность разделить общее движение на продольное движение, движение в плоскости рысканья,

тангажа и вращение относительно продольной оси.

Если кинематические параметры движения в плоскости рысканья и отклонения органов управления этим движением полагать малыми, а

траекторию полета – мало отличающейся от плоской, то продольное движение практически не будет зависеть от движения в плоскости рысканья.

Однако исследование движения рысканья и движения крена можно провести лишь после того, как будут определены параметры продольного движения.

Пусть стабилизация ракеты осуществляется раздельно по тангажу,

рысканью и крену. Тогда уравнения, описывающие работу системы управления в плоскости тангажа, рысканья и крена будут независимыми. В

этом случае уравнения движения РКН в плоскости тангажа можно получить и проанализировать независимо от уравнений движения в плоскости рысканья.

Рисунок 1.8 - Силы, действующие на РКН.

Как отмечено в п.1.3, истинное (возмущённое) движение происходит при действительных значениях параметров РКН, ГБ и автомата стабилизации, параметров атмосферы, действии ветра и т.д. Для описания возмущенного движения используется возмущенная связанная система координат, начало которой совпадает со связанной системой координат, а

углы Эйлера различаются на некоторые малые (несколько градусов)

величины (рисунок 1.3) .

Для исследования вопросов устойчивости и управляемости приняты следующие допущения:

-параметры РКН практически не отличаются от номинальных значений;

-медленное изменение коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы «РКН – АС», позволяет использовать метод "замороженных" коэффициентов;

-каналы стабилизации в плоскости наведения (продольной плоскости) и в боковой плоскости идентичны и не связаны друг с другом;

-каждый осциллятор дополнительных степеней свободы проявляет себя в узком диапазоне частот, близких к частоте собственных колебаний; и

поэтому взаимным влиянием дополнительных степеней свободы можно пренебречь;

- каналы стабилизации описываются линейными дифференциальными уравнениями, а влияние основных нелинейностей можно учесть дополнительно.

При исследовании вопросов устойчивости РКН используются уравнения возмущенного движения. Вычисление уравнений невозмущённого движения приведено в книге К.С. Колесникова «Жидкостная ракета как объект регулирования». Для получения уравнений возмущённого движения в вариациях относительно невозмущённого (программного) движения используется матрица перехода (1.4).

Учитывая технические трудности исследования системы уравнений,

описывающих пространственное движение РКН, полная система уравнений разделена на группы уравнений, отдельно описывающих движение центра масс (поступательное движение) и движение относительно центра масс

(вращательное движение).

Взаимная связь поступательного и вращательного движений для РКН проявляется через, перекрестные связи. В ниже приведенных уравнениях инерционные перекрестные связи, проявляющиеся через члены, содержащие моменты инерции и произведения угловых скоростей, а также члены,

определяемые силами и моментами Кориолиса, возникающие при перемещении топлива относительно вращающегося корпуса РКН, не учитываются из–за их относительной малости по сравнению с другими членами уравнений движения. Не учитываются также демпфирующие аэродинамические моменты в силу их малости из-за малых угловых скоростей РКН относительно связанных осей. В уравнениях движения не учитываются члены, обусловленные инерционностью управляющих двигателей в силу малых моментов инерции качающихся камер сгорания управляющих двигателей при работе первой ступени РКН.

На основе приведенных допущений система уравнений возмущённого движения для малых отклонений переменных состояния, характеризующих РКН как твердое тело, в связанной системе координат в плоскостях тангажа и рыскания для полёта первой ступени РКН имеют вид:

В уравнениях моментов все члены отнесены к моменту инерции, а в уравнениях сил к массе РКН.

Номинальные значения коэффициентов уравнений вычисляются по формулам:

Здесь используются следующие обозначения: M – масса РКН, кг; Jzz(Jyy)

– моменты инерции ступени относительно поперечных осей OZ (OY),

проходящих через центр масс, Н.м2; - угловое отклонение управляющих двигателей, рад; Р – сила тяги ДУ, Н; Рупр – тяга управляющих двигателей, Н;

V – относительная скорость РКН, м/с; Vy, Vz – вариации скорости центра масс РКН в направлении осей ОY, OZ, м/с; l – расстояние от среза корпуса соответствующей ступени РКН до места приложения управляющей силы, м;

, - отклонения от программных значений углов тангажа и рыскания соответственно, рад; SM – площадь миделевого сечения, м2; Су - производная коэффициента нормальной силы по углу атаки, 1/град.; Су - производная коэффициента нормальной силы воздушного руля, 1/град.; Сцд=Хцд/L –

относительное положение центра давления; Сцм=Хцм/L – относительное положение центра масс; Хцд, Хцм центр давления и центр масс соответственно, м; q – скоростной напор, Н/м2; FВy ,FВz , МВ ,МВ

возмущающие линейные и угловые ускорения; Y, Z - линейные отклонения центра масс РКН от номинальной траектории.

Физический смысл и размерность коэффициентов соответствуют общепринятым для РКН.

В силу осесимметричности РКН относительно осей OZ и OY уравнения возмущённого движения с учётом дополнительных степеней свободы, а

также уравнения АС приведены только для канала тангажа. Сделанные на их основе выводы верны и для канала рыскания.

2 Определение динамической совместимости системы "ракета– носитель – космическая головная часть – автомат стабилизации"

методом модального формирования

2.1 Процедура модального формирования

Рассмотрим общую постановку задачи формирования требуемых динамических свойств стационарной линейной системы "ракета космического назначения – головная часть – автомат стабилизации".

Пусть имеется линейный стационарный объект "РКН КГЧ АС". Из теории автоматического управления известно, что уравнения для фазовых координат объекта, записанные в векторно-матричной форме, будут иметь вид:

где X – n - вектор (матрица-столбец n 1) состоит из переменных состояния x1, x2,…, xn и называется вектором состояния объекта; U – m – вектор представляет собой воздействия, которые могут быть поданы на объект со стороны системы управления и называется вектором управления; Y – r –

вектор, составляющие которого – выходные сигналы объекта, называется выходным вектором, t 0; A, B, С - соответственно матрицы собственной динамики системы "РКН ГБ АС", её пространственной базы управления и выходного сигнала соответствующих размерностей (n n, n m, r n).

Доказано, что условием полной управляемости объекта является равенство ранга его матрицы управляемости порядку n объекта /65/. Матрица управляемости выражается через параметры объекта формулой

В выражениях (2.35) и (2.36) P – матрица преобразования регулятора

(m n); знак минус указывает на реверсирование сигнала, имеющееся в любой замкнутой системе с отрицательной обратной связью, которое происходит в регуляторе; А0 – матрица замкнутой системы, отвечающая заданным динамическим свойствам (n n).

Линейная обратная связь по состоянию вида (2.35) обеспечивает матрице A BP любой требуемый характеристический полином F(s). В

понимается условие выбора проектных параметров ГЧ при фиксированных параметрах ракеты космического назначения, либо наоборот, при уже заданной компоновке всей системы требуется уточнить некоторые отдельные её проектные параметры. Именно по этой причине матрицы А и В могут содержать ненулевые элементы, величина которых не может быть произвольно изменена для получения у системы "РКН ГЧ" требуемых динамических свойств.

Кроме этого, необходимо определить понятие "фиксированных элементов" матриц {A, B, P}. Под фиксированными элементами матриц понимаются такие, численная величина которых является определённой. К

фиксированным элементам будут отнесены в том числе нулевые и единичные элементы.

Из вышесказанного вытекают следующие задачи частичного модального формирования системы (1.3):

1.Формирование пары {A, B} при фиксированной матрице Р (задача согласования параметров объекта и автомата стабилизации).

2.Формирование пространственной базы объекта управления

(матрица А) при фиксированной структуре входного устройства (матрица В)

реконструирования объекта).

3.Формирование структуры входного устройства (матрица В) при фиксированной пространственной базе объекта (матрица А) и

фиксированной матрице Р (задача определения эффективности автомата стабилизации).

4.Формирование матрицы Р при фиксированной паре {A, B} (задача модального управления).

При проектировании образцов новой техники, как правило, работа ведётся на основе анализа функционирования прототипа, структура математической модели которой является уже найденной и апробированной в конкретных расчётах. При этом создаётся образец, превосходящий

прототип по некоторым определённым критериям качества, и ставится цель формирования вполне определённых проектных параметров системы,

реализация которых будет гарантировать требуемые динамические свойства.

Применительно к задаче о динамической совместимости РКН с различными ГЧ это означает, что на этапе подготовки технического предложения или при эскизном проектировании могут быть заданы основные геометрические, инерционно массовые и жёсткостные характеристики конструкций РКН и ГЧ. Задача будет состоять в том, чтобы из заданного множества допустимых по массовым, прочностным и другим соображениям проектных параметров КГЧ выбрать их совокупность (в общем случае тоже множество), которая обеспечивала бы динамическую совместимость РКН с ГЧ, исходя из условий устойчивости.

В этой связи необходимо отметить, что в монографии Титова Б.А.

представлены утверждения об условиях модального формирования системы

(2.33) и о числе формируемых элементов.

Таким образом, приведённые утверждения в работе Титова Б.А.

определяют полный ресурс модального формирования системы (2.33).

Отметим, что в реальных технических системах потребное число формируемых элементов обычно существенно меньше полного ресурса. Это вытекает из того факта, что матрицы А и В, например применительно к модели "РКН ГЧ", являются сильно разреженными в силу специфических особенностей самой системы.

2.2 Критерии качества переходных процессов в каналах управления

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемыми y(t) и

действительными f(t) значениями регулируемой величины: x(t) y(t) f (t) .

Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах

системы регулирования. Однако в действительности, вследствие случайного характера задающего и возмущающего воздействий, такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по некоторым её свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы регулирования в этом случае используются выбранные критерии качества.

Динамическую совместимость, как уже было отмечено в предыдущих главах, будем определять из условия устойчивости по Ляпунову для системы линеаризованных уравнений возмущённого движения системы "РКН ГЧ АС".

В общем случае, независимо от того, какой критерий используется для определения устойчивости системы (Ляпунова, Моисеева и др.),

динамическая совместимость является составной частью выбранного критерия и определяет необходимое, но не достаточное, условие формирования компоновки устойчивой системы:

управляемая механическая система, состоящая из нескольких взаимодействующих подсистем, является динамически совместимой в том и только в том случае, если её невозмущённое движение устойчиво по Ляпунову и обладает заданным качеством переходных процессов по каналам управления.

Дополнительное условие, характеризующее вместе с динамической совместимостью достаточность, вытекает из факта неединственности решения задачи модального формирования динамических свойств системы.

Устойчивость переходных процессов в каналах управления вытекает из самого определения динамической совместимости в плане анализа контролируемых параметров (пространственный угол атаки, угол скольжения, линейные отклонения центра масс системы "РКН ГЧ"

относительно опорной траектории и их производные, угловые отклонения и их производные относительно опорной траектории и т.д.). Выберем в