Лабораторные работы / Лаба Метод модального формирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЁВА»

Институт ракетно-космической техники

Кафедра космического машиностроения

Методы баллистического и динамического проектирования

Отчет по лабораторной работе

«Метод модального формирования»

Работу выполнил студент группы 1512

Проверил:

Давыдов И.Е.

Самара 2020

МЕТОД МОДАЛЬНОГО ФОРМИРОВАНИЯ

Задача исследования динамической совместимости ГЧ с РКН рассматривается как задача выбора областей в пространстве проектных параметров, соответствующих устойчивости системы и заданному качеству переходных процессов в каналах управления, и формулируется как задача модального формирования на множестве спектров.

Пусть нам задана приведенная матрица собственной динамики размерности .

Численные коэффициенты:

Введем данную матрицу в MathCad:

На множестве возможных значений проектных параметров системы «РКН-ГЧ-АС» требуется найти такую область (рисунок 1), которая соответствует устойчивости системы и заданному качеству переходных процессов системы «РКН-ГЧ-АС», допустимых проектных параметров задано совокупностью неравенств вида

,

где , , определяют заданные пределы изменения параметров.

Рисунок 1 — Область на плоскости проектных параметров

С другой стороны, заданному качеству реакции системы на внешнее воздействие соответствует определённая область (рисунок 2) на плоскости комплексной переменной ( – степень быстродействия).

Рисунок 2 — Область на плоскости комплексной переменной

В качестве границы множества выбрана алгебраическая кривая четвёртого порядка – овал Кассини, который описан следующим уравнением

,

где - ограничения области по действительной и мнимой осям

комплексной плоскости , соответственно;

- параметры овала Кассини, ;

знак "+" перед обозначает, что данный овал "вытянут" относительно оси .

Построим этот овал Кассини (рисунок 3).

Рисунок 3 – Овал Кассини

При помощи функции найдем собственные значения матрицы :

Чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все собственные значения матрицы лежали внутри области , то есть эти точки должны лежать внутри овала Кассини (рисунок 4). Если хотя бы одна из точек не лежит в пределах овала, то система будет неустойчивой.

Рисунок 4 – Собственные значения матрицы и овал Кассини

Как видно из рисунка 4, одна из точек лежит за пределами области, из чего можно сделать вывод о неустойчивости данной системы.

Зачастую в силу сложности конфигурации множества , которое в проектных задачах может быть произвольным, что вызывает определённые трудности при получении функционала, определяющего принадлежность спектра полюсов данной области, поставим задачу преобразования множества комплексной переменной s в некоторое другое множество комплексной переменной .

Для простоты попытаемся привести область к окружности единичного радиуса. Для этого введем матрице функциональных преобразований , которая получается из матрицы при помощи оператора

Тогда матрица получится:

Отыщем собственные значения этой матрицы:

Отметим их на комплексной плоскости, чтобы убедиться, что все они попадают в окружность единичного радиуса (рисунок 5).

Рисунок 5 – Собственные значения матрицы и единичная окружность

Как видно из рисунка 5, одна из точек не принадлежит единичной окружности, из чего можно сделать вывод, что система неустойчива.

Вывод: при использовании метода модального формирования были найдены собственные значения матрицы собственной динамики и , а также построены области и . После анализа попадания собственных значений данных матриц в соответствующие области, было сделано заключение о неустойчивости системы при исходных параметрах.