в которых определяются напряжения и скорости движения частиц среды.

Если в узле известны σx и v , то формулы позволяют определить константы α(η) и β(ξ) , постоянные вдоль линий ξ=const и η=const соответственно, сходящихся в этом узле. Далее по известным значениям α и β в двух узлах можно определить σx и v в соседнем узле и т.д. При этом, конечно, используются соответствующие начальные и граничные условия.

Расчеты показывают, что величина напряжения в слоях зависит от соотношения их толщин и физико-механических свойств материалов, из которых они изготовлены. Можно подобрать такие соотношения параметров слоев, при которых эти напряжения будут наименьшими.

Возникновение напряжений, превышающих допустимые, нежелательно из-за cнижения теплозащитной и несущей способности конструкции.

3.3. Температурные напряжения при тепловом ударе

Тепловым ударом называется быстро изменяющееся во времени внешнее воздействие, создающее значительные градиенты температуры по толщине конструкции и напряжения. Будем предполагать, что материал сохраняет свои упругие свойства [20].

При тепловом ударе в материале возникают нежелательные эффекты: растрескивание, раскалывание и крошение, отделение слоев многослойной конструкции.

Для составления математической модели воспользуемся следующими допущениями:

–тепловой поток q постоянный и действует в течение малого промежутка времени 0 < t ≤ td;

–все поступающее тепло аккумулируется в слое материала толщиной l;

–объемные источники тепла распределены в слое l по экспоненциальному закону:

p(x,t) = (q l)exp(− x l)[H (t) − H (t −td )],

0,t < 0 ;

где функция Хевисайда H (t) =

1,t ≥ 0

47

– до начала теплового воздействия температура конструкции равна нулю.

Уравнения термоупругости для одномерного деформированного состояния записывают в следующем виде:

ния и перемещение в направлении нормали к поверхности; ρ – плотность материала;

3)закон Гука:

εx = E1 [σx −μ(σy + σz )]+ αT (x),

0 = E1 [σy −μ(σx + σz )]+ αT (x), 0 = E1 [σz −μ(σy + σx )]+ αT (x),

где α,T – коэффициент линейного расширения и температура; E,

μ– модуль упругости и коэффициент Пуассона;

4)уравнение теплопроводности в случае объемных источников тепла:

или, если принять постоянным коэффициент теплопроводности,

Преобразуем сначала уравнение равновесия, выразив σx , через εx из физических уравнений:

σx −μσy −μσz = E(εx − αT );

−μσx + σy −μσz = −EαT ;

−μσx −μσy + σz = −EαT .

Вычисляем определитель системы уравнений

48

Из уравнения равновесия после его дифференцирования по x получаем

или, после подстановки (3.9),

Для определения температуры в стенке необходимо решить уравнение теплопроводности (3.7) для температурного поля с объемными источниками тепла. Начальные и граничные условия имеют вид

t = 0 T (x,0)= 0 ;

∂∂Tx (0,t)= 0 ,

где последнее условие показывает, что за время td распростране-

ния теплового импульса на глубину l можно пренебречь теплообменом на поверхности стенки.

49

Решение (3.7) с учетом (3.11) имеет вид

Tm = рλ0a td .

Получен стационарный профиль убывания температуры по толщине l с максимальной температурой на поверхности. Это означает, что импульс мгновенный и полное выделение энергии

Q = р0ltd = qtd сохраняет фиксированное значение при td → 0 .

Для решения волнового уравнения (3.10) поставим к нему следующие условия:

а) до воздействия импульса напряжения в конструкции равны нулю, т.е.: при t < 0 и x > 0 , σx (x,t)= 0 ;

б) на значительном удалении от поверхности напряжения стремятся к нулю: при x → ∞ и t > 0 , σ(x,t)→ 0 ;

в) скачкообразное изменение напряжений в момент начала воздействия теплового импульса:

50

Решение этого уравнения имеет вид

Θ(ξ,η)= −exp(− ξ)ch η при ξ > η; Θ(ξ,η)= exp(− η)sh ξ при ξ < η.

Вфиксированный момент времени, когда η постоянно, при

ξ> η напряжения сжимающие, равны нулю при ξ → ∞ и имеют

максимальное значение при ξ = η (рис. 20). Здесь напряжения имеют скачок, так как при ξ < η они растягивающие и при ξ = 0

стремятся к нулю. Найдем максимальное напряжение, полагая

ξ = η.

Рис. 20. Температурные напряжения при тепловом ударе

Так как sh ξ = (eξ −e−ξ)2 , то в растянутой зоне

Θ(ξ,ξ)= exp(− ξ)eξ −2e−ξ = 12 [1 − exp(− 2ξ)].

При движении фронта внутрь тела η= ξ→ ∞ и Θ(ξ,ξ)→12 , поэтому наибольшее растягивающее напряжение равно:

51