Добавил:

MrKOT1212 ikot.chulakov@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Вариационное исчисление

Файл:

Вариационные методы Старинова / Вариационные методы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.07.2020

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Функционалы, зависящие от старших производных.

Интегральный функционал может зависеть не только от неизвестной функции и ее первой производной, но и от производных высших порядков.

	b	(4.1)
	′ ′′ ′′′	(4.1)
	′ ′′ ′′′
	J(y) = ∫F(x, y, y , y , y ,...)dx

Получим условия оптимальности, аналогичные уравнению Эйлера, для функционала такого вида на основе необходимого условия существования экстремума δJ=0. Для этого исследуем на экстремум функционал, зависящий от функции одной переменной и её производных 1-го и 2-го порядка

x2
J(y)= ∫F(x,y,y',y'')dx→extr		(4.2)
		(4.2)
x1
c фиксированными граничными условиями:
y(x1 )= y1;	y'(x1 )= y'1 ;
y(x2 )= y2 ;	y'(x2 )= y'2 .	(4.3)

Функционалы, зависящие от старших производных.

Вычислим δJ=0 как линейную часть приращения функционала. Разложим первое слагаемое в ряд Тейлора в окрестности экстремали, и удержим только линейные члены. Слагаемое, содержащее 1-ю производную, проинтегрируем по частям один раз, а слагаемое, содержащее 2-ю производную – 2 раза.

δJ(y0 )= ∫(F(x, y0 +δy, y'0 +δy', y''0 +δy'')− F(x, y0 , y'0 , y''0 ))dx =

=x∫2 (Fyδy + Fy'δy'+Fy''δy'')dx =

= ∫Fyδydx + (Fy'δy)

xx2

− ∫

dFy'

δydx + (Fy''δy')

xx2 − ∫

dFy''

δy'dx =

d2F

∫

y''

∫

y''

∫

−

δydx −

δy

δydx =

−

+ d2Fy'' dx2

(4.4)

δydx = 0.

Функционалы, зависящие от старших производных.

При вычислении вариации функционала было учтено, что граничные условия на концах интервала фиксированы (4.2), поэтому δy(x1)=0,

δy(x2)=0, δy’(x1)=0, δy’(x2)=0.

В силу произвольности вариации функции δy(x) по основной лемме вариационного исчисления первый сомножитель под интегралом должен равняться нулю:

F		−	dF	y'	+	d 2 F	y''	=0

	y								(4.5)
			dx			dx2

Подобное уравнение может быть легко получено и для функционала, зависящего от старших производных:

d2F

d3F

∂F

F −

y''

−

y′′′

+...+ (−1)n

= 0

(4.6)

∂y

(n)

Уравнение (4.6) называется уравнением Эйлера-Пуассона.

Пример 4.1 Решение вариационной задачи для функционала, зависящего от старших производных

Найти экстремаль функционала при заданных граничных условиях и построить график экстремали в виде двух функций y(x), y’(x).

1	(y''2 −2y'2 +4yy'+ y2 − 2ysin 2x)dx;	y(−1)=1;	y(1)= 2;
J(y)= ∫	(y''2 −2y'2 +4yy'+ y2 − 2ysin 2x)dx;
−1		y'(−1)= −1;	y'(1)= −1.

Уравнение Эйлера-Пуассона после сокращения на 2 примет вид

yIV + 2y''+y = sin 2x

Соответствующие однородное уравнение yIV + 2y''+y = 0 и характеристическое уравнение

k4 + 2k2 +1= 0

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, кратные:

k4 + 2k2 +1= (k2 +1)2 = 0, k = i, k	3,4	= −i
1,2	3,4

Пример 4.1 Продолжение

Соответствующее общее решение однородного уравнения имеет вид:

y0 (x)= (c1x + c2 )cos x + (c3x + c4 )sin x

Частное решение будет иметь вид

yч (x)= Acos2x + Bsin 2x

Найдем производные частного решения и неопределенные коэффициенты

yч′ (x)= −2Asin 2x + 2Bcos2x yч′′(x)= −4Acos2x − 4Bsin 2x yч′′′(x)= 8Asin 2x −8Bcos2x

yчIV (x)=16Acos2x +16Bsin 2x

16Acos2x +16Bsin 2x −8Acos2x −8Bsin 2x + + Acos2x + Bsin 2x = sin 2x

Пример 4.1 Продолжение

		A = 0
16A−8A+ A = 0

16B −8B + B =1	B =1/9

С учетом найденных произвольных постоянных окончательно имеем

решение

y(x)= y0 (x)+ yч (x)=

= (c1x + c2 )cos x + (c3x + c4 )sin x + 1 sin 2x 9

С помощью MathCad и с учетом граничных условий находим четыре постоянные и строим графики экстремали и ее производной.

Пример 4.1 Продолжение

y(x, c1, c2, c3, c4)

(c1.x

c2).cos(x)

(c3.x

c4).sin(x)

.sin(2.x)

dy(x, c1, c2, c3, c4)

y(x, c1, c2, c3, c4)

dy(x, c1, c2, c3, c4)

c1.cos(x)

(c1.x

c2).sin(x)

c3.sin(x)

(c3.x

c4).cos(x)

.cos(2.x)

given

( c1

c2)

cos(

(

c4)

sin(

(c1

c2)

cos(1)

(c3

c4)

sin(1)

sin(2)

cos( 1)

( c1

c2)

sin(

(

c4)

cos(

cos(1)

(c1

c2)

sin(1)

(c3

c4)

cos(1)

cos(2)

18.sin(1)

cos(1).sin(1)

9.cos(1)

4.cos(2).sin(1)

cos(1).sin(2))

18. cos(1)2

cos(1).sin(1)

sin(1)2

1. 27.sin(1)

cos(1).sin(1)

27.cos(1)

cos(1).sin(2)

sin(1).sin(2)

1.799

(Find(c1, c2, c3, c4))

cos(1).sin(1)

cos(1)2

sin(1)2

1.421

( sin(1)

sin(2))

sin(1)

0.866

cos(1).sin(1)

cos(1)2

sin(1)2

0.677

1. 4.cos(1).cos(2)

cos(1).sin(1)

27.cos(1)

cos(1).sin(2)

9.sin(1)

sin(1)2

sin(1).sin(2)

cos(1)2

cos(1).sin(1)

sin(1)2

Пример 4.1 Продолжение
	3	3
	3
		2
y( x,1.799,1.421,0.866,	0.677)
dy(x,1.799,1.421,0.866, 0.677)		1
		1
1
1
2		0
		0
1
		1
	2	2
		2	1.5	1	0.5	0	0.5	1	1.5	2
		2				x,x, 1,	1,1,1			2

Лабораторная работа № 4

Экстремаль функционала, зависящего от производных старших порядков.

1.Для своего варианта функционала найти экстремаль и построить графики экстремали и ее производной.

2.Вычислить значение функционала на этой экстремали.

3.Оформить отчет.

Вариационная производная

Понятие вариации функционала является аналогом понятия дифференциала числовой функции n переменных. Вариационной производной называется выражение, играющее для функционалов ту же роль, что и частные производные для функций n переменных. Пусть имеется некоторый функционал J(y). Дадим функции приращение, отличное от нуля лишь в окрестности некоторой точки

x0, и вычислим соответствующее приращение функционала

∆J = J(y +δy)− J(y). Разделив это приращение на площадь ∆S, ограниченную кривой δy и осью OX и рассмотрим отношение:

J(y + δy)− J(y)

∆s

(4.7)

Пусть теперь площадь∆S , ограниченная кривой δy стремиться к нулю, причем так, что и длина того интервала, в котором δy отлична от нуля, стремиться к нулю.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вариационные методы Старинова

#
12.07.2020154.84 Кб405b lab.xmcd
#
12.07.2020137.95 Кб415а lab.xmcd
#
12.07.2020203.82 Кб406 lab.xmcd
#
12.07.2020198.52 Кб387 lab.xmcd
#
12.07.2020121.95 Кб388 lab.xmcd
#
12.07.20203.4 Mб73Вариационные методы.pdf
#
12.07.20201.12 Mб49Лабораторные работы по вариационным методам.doc
#
12.07.20203.88 Mб48Лекция 1_ovi.ppt
#
12.07.20201.19 Mб38Лекция 2_ovi.ppt
#
12.07.20201.18 Mб48Лекция 3.ppt
#
12.07.2020451.07 Кб52Лекция 4.ppt