Вариационные методы Старинова / Вариационные методы
.pdf
Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 2. Уравнение Эйлера
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2017 г. |
Сильный и слабый экстремум
Функционал J(y), y C1[a,b] достигает при y = y0
слабого экстремума, если ε > 0 , такое что J(y)- J(y0)
сохраняет знак при всех 
y − y0 
C1 < ε.
Функционал J(y), y C[a,b] достигает при y = y0
сильного экстремума, если ε > 0, такое что J(y)- J(y0)
сохраняет знак при всех |
|
|
|
y − y0 |
|
|
|
C |
< ε . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сильный и слабый экстремум
Пусть яхте требуется пройти против ветра из точки А в точку В за min время.
Скорость яхты зависит от угла между направлением движения и ветром, как показано на рисунке.
Прямая AB доставляет слабый минимум времени движения. Однако пилообразные траектории движения доставляют сильный, глобальный min.
Необходимое условие экстремума
Th 2.1 Для того, чтобы функционал J(y) при y = y |
0 |
|||||||||
|
Курс |
|||||||||
достигал экстремума, необходимо, чтобы его вариация |
||||||||||
|
вариационные методы |
(2.1) |
||||||||
(если она существует) обращалась в ноль δJ ≡ 0 |
||||||||||
|
Рассмотрим для определенности минимум. |
|
||||||||
∆J = J(y0(x)+ δy)− J(y0(x))≥ 0 |
(2.2) |
|||||||||
для всех достаточно малых δy . |
|
|||||||||
По определению вариации |
|
|||||||||
∆J = δJ(y0(x),δy)+ α(y0(x),δy) |
|
|
|
δy |
|
|
|
знаком δJ, |
(2.3) |
|
|
|
|
|
|||||||
Знак выражения (2.3) определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
но |
δJ - линейный функционал, поэтому |
|
||||||||
δJ |
(y0(x),−δy)= −δJ(y0(x),δy) , и, следовательно, при |
|||||||||
δJ ≠ 0 выражение может быть, как положительным, так и отрицательным, т.е. минимум в данном случае не достигается. Поэтому должно выполняться δJ ≡ 0 
Первая вариация интегрального функционала
Рассмотрим интегральный функционал
x2 |
(2.4) |
|
J(y)= ∫F(x, y, y')dx → extr |
||
|
||
x1 |
|
В этом случае вариация J(y) вызывается изменением
(вариацией) функции y(x) и её производной y’(x): |
|
|||
y(x)= y0 (x)+ δy(x), |
′ |
′ |
′ |
(2.5) |
|
||||
y (x)= y0 |
|
(x)+ δy (x) |
||
Вычислим вариацию функционала как линейную часть его приращения. Для этого разложим F(x,y0+δy0,y′0+δy′) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной функции y0 с удержанием только линейных членов, а затем проинтегрируем по частям:
Первая вариация интегрального функционала
x2
δJ(y0 )= ∫(F(x, y0 + δy, y'0 +δy')− F(x, y0, y'0 ))dx =
x1
= |
x2 |
|
|
, y' |
|
)+ ∂F |
∫ |
F(x, y |
0 |
||||
|
|
0 |
|
∂y |
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= x∫2 (Fyδy + Fy'δy')dx =
x1
x
= ∫2 Fyδydx + (Fy'δy)x2
x1
x1
|
∂F |
|
′ |
|
( |
|
|
|
δy + |
δy |
− F |
x, y0 |
, y'0 |
) |
|||
∂y′ |
|
|
dx = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = F |
′ , |
du = |
dFy′ |
dx |
|
||
dx |
= |
||||||
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = δy'dx, v = δy |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−x∫2 dFy' δydx = x1 dx
|
( |
) |
|
x |
|
x2 |
|
|
dF |
|
|
|
|
2 |
+ ∫ |
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
− |
y' |
|
(2.6) |
|||
|
|
|
|
||||||||
Fy'δy |
|
|
x |
|
Fy |
|
δydx |
||||
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Простейшая задача вариационного исчисления
- задача с фиксированными граничными значениями
Если для функционала (2.4) заданы фиксированные граничные условия:
y(x1 )= y1, |
|
y(x2 )= y2 |
, |
|
(2.7) |
то задача (2.4), (2.7) называется простейшей задачей вариационного исчисления.
Простейшая задача вариационного исчисления.
Дифференциальное уравнение Эйлера
Согласно необходимому условию экстремума, формуле для первой вариации функционала (2.4) и граничным условиям (2.7) , экстремум функционала достигается при выполнении следующих условий:
δy(x1)= δy(x2 )= 0 |
(2.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F − |
dFy' |
= 0 |
|
(2.9) |
|
||||
y |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Эйлера.
Экстремалью называется интегральная кривая дифференциального уравнения Эйлера. Все экстремали в одной задаче образуют поле экстремалей.
Пример 2.1 Решение дифференциального уравнения Эйлера.
Найти экстремаль функционала
J(y)= ∫1 (x2 + y2 + y'2 )dx; y(−1)=1; |
|
−1 |
y(1)=2. |
Запишем уравнение Эйлера для этого функционала.
Fy = |
∂F |
|
|
= |
∂F |
′ |
dFy' |
|
|
|
= 2y, |
Fy′ |
|
= 2y , |
|
= 2y′′ |
|||
∂y |
∂y′ |
|
|||||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2y − 2y′′ = 0 |
|
|
y''−y = 0 |
|
||||
Это обыкновенное ДУ второго порядка. Соответствующее характеристическое уравнение и его корни:
k2 −1= 0 |
k = ±1 |
|
1,2 |
Пример 2.1 Решение дифференциального уравнения Эйлера. Продолжение.
Соответствующее общее решение y(x)= C1ex +C2e−x
определяет поле экстремалей, показанное на рисунке.