Добавил:

MrKOT1212 ikot.chulakov@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Вариационное исчисление

Файл:

Вариационные методы Старинова / Приближенные методы-Буханько АА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.07.2020

Размер:

2.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

ПРИЛОЖЕНИЕ I . Аналитические решения уравнений в частных производных (метод Фурье)

Метод Фурье (или метод разделения переменных) принадлежит к числу важнейших методов решения уравнений математической физики. Схема решения для смешанных задач в случае двух независимых переменных состоит в следующем:

на первом этапе находится решение, удовлетворяющее уравнению и краевым условиям: частные решения уравнения ищутся в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной; с учетом граничных условий определяются собственные значения и соответствующие им собственные функции;

на втором этапе согласно начальным условиям определяются коэффициенты разложения в ряд Фурье по соответствующим собственным функциям для полученного на первом этапе решения.

Ниже предлагаются решения смешанных задач для уравнений параболического и гиперболического типов, полученные методом Фурье [5].

I.1 Смешанная задача о колебаниях однородной струны

Найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

u	a2u	xx	,	(I.1)
tt		xx

начальным условиям

u(x, 0) f (x), ut (x, 0)

(x) (0 x s)

(I.2)

иоднородным краевым условиям:

1)оба конца струны закреплены:

					u(0,t)		0, u(l,t)		0 ;	(I.3)
2)	левый конец струны ( x					0 ) закреплен, правый ( x				l ) – свободен:
					u(0,t)		0, ux (l,t)		0 ;	(I.4)
3)	левый конец струны ( x					0 ) свободен, правый ( x				l ) – закреплен:
					ux (0,t)		0, u(l,t)		0 ;	(I.5)
4)	оба конца струны свободны:
					ux (0,t)		0, ux (l,t)		0 .	(I.6)
Общее решение задачи имеет вид
		u		x,t	An cos		n at Bn sin		n at X n x ,
					n
			2 l					2	l
	An			f x X n x dx,			Bn		x X n x dx,
	An		l	f x X n x dx,			Bn	al n	x X n x dx,
			l	0				al n	0

где n – собственные значения,

X n (x) – собственные функции, соответст-

вующие краевой задаче (см. табл. I.1.).

Таблица I.1. – Собственные значения и функции для волнового уравнения

Задача

X n (x)

(I.1), (I.2), (I.3)

sin

n x

(I.1), (I.2), (I.4)

sin

n x

(I.1), (I.2), (I.5)

cos

n x

(I.1), (I.2), (I.6)

cos

n x

I.2 Смешанная задача о теплопроводности в однородном стержне

Найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

a2u

(I.7)

начальному условию

u(x, 0)

f (x)

x s)

(I.8)

иоднородным краевым условиям:

1)оба конца стержня теплоизолированы:

	ux (0,t)		0, ux (l,t)		0 ;			(I.9)
2) на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура:
	u(0,t)	0,		u(l,t) 0 ;				(I.10)
3) левый конец стержня ( x			0 ) теплоизолирован, на					правом конце
( x l ) поддерживается постоянная температура:
	ux (0,t)		0, u(l,t)		0 ;			(I.11)
4) на левом конце стержня ( x			0 ) поддерживается постоянная темпера-
тура, правый конец ( x	l ) теплоизолирован:
	u(0,t)	0, ux (l,t)			0 .			(I.12)
Общее решение задачи имеет вид
u x,t	A cos		n	x B sin	n	x e n2 a2t .
	n		n	n	n
	n
В табл. I.2 представлены собственные значения					n		и значения коэффициен-
					n

тов An , Bn , соответствующие краевой задаче.

Таблица I.2. – Собственные значения и коэффициенты разложения

Задача

X n (x)

2 l

(I.7), (I.8), (I.9)

x cos

n xdx,

(I.7), (I.8), (I.10)

2 l

x sin

n xdx

l 0

2 l

(I.7), (I.8), (I.11)

x cos

n xdx,

(I.7), (I.8), (I.12)

2 l

x sin

n xdx

l 0

ПРИЛОЖЕНИЕ I I. Связь между дифференциальным уравнением и уравнением Вольтерра

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

d 2u	p x	du	q x u f x a x b
dx2		dx

при начальных условиях

u a A, u a B .

Положим

d 2u

dx2

y x

и дважды проинтегрируем

du	x			x	s
	y s ds C1	,	u		ds y t dt C1 x a C2 .

dx
	a			a	a

Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

(II.1)

(II.2)

(II.3)

x	s	x	x		x				x
ds y t dt		dt y t ds				x t y t dt			x s y s ds .
a	a	a	t		a				a
Кроме того,	из начальных условий (I.2) при x							a	найдем C1	B, C2 A .
Поэтому
				du	x
				du	y	s ds	B ,			(II.4)

				dx
				dx	a
					a
			x
	u	x		x s	y	s ds	B x	a	A .	(II.5)

Подставляя выражения (II.3), (II.4) и (II.5) в дифференциальное уравнение (II.1), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

		x
y	x	K	x, s	y s ds F	x ,	(II.6)
		a
где
	K x, s		p(x) q(x)(x s),
F (x)	f (x) Bp(x)			B(x a)	A q(x).
Зная функцию y(x) , можно по формуле (II.5) найти решение u(x)						и про-

изводную u (x) ; таким образом, интегральное уравнение (II.6) включает в

себя всю информацию, связанную с начальной задачей (задачей Коши) для дифференциального уравнения (II.1).

Аналогичный результат получается для линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

Обратно, если ядро K(x, s) является целым полиномом относительно s степени n, т.е.

	n
K x, s	am x sm ,
	m 0

то путем последовательного дифференцирования интегрального уравнения (II.6) придем к задаче Коши для некоторого линейного дифференциального уравнения.

Пример II.1. Решить интегральное уравнение

	x
y x	2 x s y s ds x2 .	(II1)

Последовательно продифференцировав уравнение (II1) два раза, получим

			x
y x	2 y	x	y s	ds 2x ,	(II2)
			0
y (x) 2y (x)			y(x)	2 .	(II3)
Из уравнение (II1) и (II2) при x	0 получаем начальные условия:
y(0)		0,	y (0)	0 .
Решая известным способом дифференциальное уравнение (II3), находим
y(x) 2 2e x 1 x .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1Березин, И.С. Методы вычислений: т. 2 // И.С. Березин, Н.П. Жидков. - 2-е

изд. – М.: Физматгиз, 1962. – 620 с.

2Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувало-

ва. – М.: Наука, 1967. – 368 с.

3Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В. Копечнова, И.А. Марон. – М.: Наука, 1972. – 368 с.

4Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий. – М.: Наука, 1965. – 384 с.

5Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 725 с.

6Чудесенко, В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты: учеб. пособие / В.Ф. Чудесенко – СПб.: Издательство «Лань»,

2005. – 128 с.

7Стандарт организации СГАУ 02068410-004-2007: Общие требования к учеб-

ным текстовым документам. (http://www.ssau.ru/resources/standards)

Учебное издание

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие

Составители Буханько Анастасия Андреевна

Чостковская Ольга Петровна

Редактор Н.С. Куприянова Верстка А.А. Буханько

Подписано в печать 08.08.2011. Формат 60х84 1/16

Бумага офсетная. Печать офсетная.
Печ. л. 4,25.
Тираж 50 экз. Заказ	. Арт.-	/2011

Самарский государственный аэрокосмический университет. 443086, Самара, Московское шоссе, 34.

___________________________________________________________

Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.

443086, Самара, Московское шоссе, 34.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

А.А. БУХАНЬКО, О.П. ЧОСТКОВСКАЯ

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С А М А Р А 2011

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в папке Вариационные методы Старинова

#
12.07.2020451.07 Кб52Лекция 4.ppt
#
12.07.2020659.46 Кб38Лекция 5.ppt
#
12.07.2020570.37 Кб47Лекция 6.ppt
#
12.07.202051.71 Кб32ЛР 1.doc
#
12.07.2020176.64 Кб34ЛР2.doc
#
12.07.20202.35 Mб55Приближенные методы-Буханько АА.pdf