Вариационные методы Старинова / Приближенные методы-Буханько АА

2.6) и значения функции f (x, y)

xy

в каждом внутреннем узле, получим

u(k 1)

1

u(k )

107

,

11

4

21

64

u(k 1)

1

u(k )

u(k )

31

,

21

4

31

11

32

u(k 1)

1

u(k )

77

.

31

4

21

64

В качестве начального приближения выберем u(0)

u(0)

u(0)

0 . Результаты

11

21

31

k

0

1

2

3

4

5

6

7

ui(7)1

ui(6)1

u11

0

1,6719

1,9141

2,0938

2,1240

2,1465

2,1503

2,1531

0,0028

u21

0

0,9688

1,6875

1,8086

1,8984

1,9136

1,9248

1,9267

0,0019

u31

0

1,2031

1.4453

1,6250

1,6553

1,6777

1,6815

1,6843

0.0028

- для узла вида Ah

(рис. 2.7)

uA

1uB

huA

;

h

h

1

- для узла вида Ch

(рис. 2.7)

u

2uD

huC

.

C

h

h

Рис. 2.7.

2

Получив одно из таких уравнений для каждого гра-

ничного узла и присоединив его к любой из систем

u(k 1)

u(k )

u

A

, u(k 1)

u(k )

u

u

B

u

D

C

.

A

A

1

h

C

C

2

h

h

h

1

2

b

K

x, s

y(s)ds

f x

,

(3.1)

a

b

y

x

K x, s y(s)ds

f

x ,

(3.2)

a

где K x, s (ядро) и f x

– известные функции,

– числовой параметр4.

Интегральные уравнения вида

x

K x, s y(s)ds

f

x ,

(3.3)

a

x

y

x

K

x, s y(s)ds

f

x

(3.4)

ядром K x, s .

Замечание: если ядро

K x, s и функция f x - непрерывно дифферен-

цируемые, причем K x, x

0 при a x b , то уравнение Вольтерра перво-

b

y x

f x

K x, s y(s)ds ,

a

где функции K x, s

f x

непрерывны. Будем искать решение этого урав-

нения в виде степенного ряда (по степеням

):

y x

n

n x

0 (x)

1 (x)

2

n

(x)

(3.5)

2 (x)

n

n 0

..........................................

(3.6)

b

n x

K x, s

n 1 s ds,

a

..........................................

x, s

M и

f

x

N в области

R a

x b, a s b . Из

Пусть

K

M n N b

a n , и сходимость

формул (3.6)

по индукции получаем

n

x

ряда (3.5) будет обеспечена, если

1

.

Приняв

M b

a

n

y(x)

yn

x

k

x

,

k

k

0

Формула (3.5) дает аналитическое относительно

решение уравнения

Фредгольма (3.2) в окрестности точки

0 . Из формул (3.6) вытекает, что

решение (3.5) можно записать в виде

b

y x

f x

n 1 K

n

x, s f (s)ds

n 1

a

или

b

y

x f x

R x, s, f (s)ds .

(3.8)

a

Здесь функция

R x, s,

n 1K

n

x, s

n

1

рядом при малых

. Пользуясь аналитическим продолжением, резольвенту

R x, s,

можно продолжить на всю комплексную плоскость параметра ,

за исключением собственных значений 1 , 2 ,

(особые точки), которые

ния (3.2) при любом

k (k 1, 2

) .

Коэффициенты Kn

x, s , так называемые итерированные ядра, могут

быть найдены последовательно по формулам

K1 x, s

K x, s ,

b

K2 x, s

K x,t K1 t, s dt,

a

...............................................

b

Kn x, s

K x,t Kn 1 t, s dt,

a

x

y x

f x

K x, s y(s)ds ,

a

x

0 x

f x ,

n x

K x, s

n 1 s ds n 1, 2

,

a

откуда

n

x

M n N b

a n

n

0,1, 2,

,

(3.10)

n!

K

x, s

M ,

f x

N

при

a

x

b,

a

s b.

Следовательно, ряд (3.9) сходится при любом

и дает единственное реше-

ние уравнения (3.4). Погрешность приближенного решения

n

Yn x

k

k x

k 0

на основании оценок (3.10) определяется формулой

y x

Y

x

N

M b

a

k

N

eM b

a

M b

a

k

n

.

n

k !

k !

k

n 1

k

0

1

y

s

y x

x

ds 0 x 1 .

0

10 x s

Полагая y

x

n

n x

, имеем

n 0

0 x

f

x

x,

b

1

s

11 x

1 x

K x, s

0 s ds

ds 1 10 x ln

.

0 10

a

x s

10 x

y x

0 (x)

1 (x) x

1 (10

x) ln 1

1

.

10

x

Здесь

M

max K

x, s

max

1

0,1 N

max f x

max x 1 .

10 x s

a x b

0 x 1

a x b

0 x 1

a s b

0 s 1

Следовательно, полученный ряд сходится при

1

10 . В частно-

0,1 1

0

сти, при

1 на основании (3.7) точность решения будет

y(x) y1 (x)

1

0,1 1 1 2

0, 01 .

1

0,1 1 1

b

n

F

x dx

Ai F xi

R F

,

(3.11)

a

i

1

где xi i

1, n

- абсциссы точек отрезка [a,b] ;

Ai

i

1, n - числовые коэф-

фициенты, не зависящие от выбора функции F(x) ;

R F

- остаточный член

n

(ошибка) формулы (3.11). Обычно

Ai

0 и

Ai

b

a . В случае равноот-

i 1

b

a

, имеем:

стоящих точек x a

ih

i 0, n

1 , где h

i

n

1) для формулы прямоугольников

0 ;

Ai

h

i

1, n

1 ,

An

h

2) для формулы трапеций

A

A

,

A

h

i

1, n 1 ;

0

n

2

i

3) для формулы Симпсона

при n

2m,

h

b

a

,

2m

A A

h

, A A

A

4h

, A A

A

2h

.

0

2m

3

1

3

2m 1

3

2

4

2m 2

3

b

y x

K x, s y(s)ds f x

a x b .

a

Выбирая

точки

x i

[a,b]

и

обозначая

y xi

yi , K

xi , x j Kij ,

f xi

fi

i, j

1, n

на основании формулы (3.11)

будем иметь

n

yi

Aj Kij y j

fi

Ri

i 1, n ,

j

1

где Ri

- соответствующие ошибки. Отбрасывая в этой системе величины Ri ,

yi решения y x

для приближенных значений

в узлах x i , i

1, n получим

линейную систему алгебраических уравнений:

n

yi

Aj Kij y j

fi

i

1, n .

(3.12)

j

1

Вводя символы Кронекера

1, i

j

и учитывая, что yi

ij y j (немой

ij

0, i

j

индекс j – индекс суммирования), систему (3.12) можно записать в виде

n

ij

Aj Kij

y j

fi

i

1, n .

(3.13)

j 1

Если

det ij

Aj Kij

0 ,

(3.14)

то система (3.13) имеет единственное решение

yi , которое можно найти ме-

тодами решения систем алгебраических уравнений.

Найдя yi

( i 1, n ) для решения

y(x) , получаем из уравнения (3.2) при-

ближенное аналитическое выражение

n

y x

f x

Aj K x, x j y j .

j 1

Замечание: метод конечных сумм дает хорошие результаты, если ядро

K x, s

и правая часть f

x

достаточно гладкие функции.

В этом случае приближенные значения

yi

решения y x в узлах x i , i 1, n

определяются из системы

n

Aj Kij y j

fi

i 1, n .

j 1

x

y x

K x, s y(s)ds f x a x b ,

a

Kij 0 при j i и, следовательно,

соответствующая система (3.12)

имеет

вид

i

y

A(i) K

ij

y

j

f

i

i 0, n .

(3.15)

i

j

j

0

y x

x

1

0,5

x

s y

s ds

0,5x2

ln x

3,5 .

(31)

1

x

Для формулы трапеций для каждого i -го шага ( i

0,5 ) будем иметь

A0(i )

Ai(i )

h

, A(ji )

h

j i

j 1, 2, 3, 4 .

2

Полагая в уравнении (31) x

x

(i

0,5) , получим

i

y0

f0 ,

xi

1

y

0,5

x

s

y s

ds

0,5x2

ln x

4 i

1, 2,3, 4,5 .

i

xi

i

i

i

1

Применяя к определенным интегралам формулу трапеций с шагом h

0, 2 ,

согласно (3.15) получим систему уравнений

y0

f0 ,

y

A(1) K y

A(1) K

y

f ,

1

0

10

0

1

11

1

1

y

A(2) K