Добавил:

MrKOT1212 ikot.chulakov@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Вариационное исчисление

Файл:

Вариационные методы Старинова / Приближенные методы-Буханько АА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.07.2020

Размер:

2.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Записываем полученные значения ui1 ( i 1, 2,3, 4,5,6,7 ) во вторую строку

табл. 2.1. Переходим к вычислению значений на втором слое по формуле

(2.10) при j 1 :

u	ui 1,1 ui 1,1	.
i,2	2
	2

Подобным образом определяем последовательно значения uij при t 0,0039;

0,0078; 0,0117 и т.д.

Таблица 2.1 – Результаты вычислений для примера 2.1

j t j

00,0

10,0039

20,0078

30,0117

40,0156

50,0195

60,0234

70,0273

80,0312

u(x;0, 0312)

u u

0	1	2	3	4	5	6	7	8

0,0	0,25	0,5	0,75	1,0	1,25	1,5	1,75	2,0

0	4,9749	9,1924	12,0104	13,0	12,0104	9,1924	4,9749	0
0	4,5962	8,4927	11,0962	12,0104	11,0962	8,4927	4,5962	0
0	4,2464	7,8462	10,2516	11,0962	10,2516	7,8462	4,2464	0
0	3,9231	7,2490	9,4712	10,2516	9,4712	7,2490	3,9231	0
0	3,6245	6,6972	8,7503	9,4712	8,7503	6,6972	3,6245	0
0	3,3486	6,1874	8,0842	8,7503	8,0842	6,1874	3,3486	0
0	3,0937	5,7164	7,4689	8,0842	7,4689	5,7164	3,0937	0
0	2,8582	5,2813	6,9003	7,4689	6,9003	5,2813	2,8582	0
0	2,6407	4,8793	6,3751	6,9003	6,3751	4,8793	2,6407	0
0	2,6873	4,9655	6,4877	7,0223	6,4877	4,9655	2,6873	0

0	0,0466	0,0862	0,1126	0,1220	0,1126	0,0862	0,0466	0

Аналитическое решение данной задачи определяется согласно приложению I формулой

x,t

2nt

B sin

x ,

n 1

где

13sin

x sin

xdx

0 при n

1 :

2 0

2 sin2

xdx

13 2

cos

x dx

sin x

13 .

2 0

Получаем u

x, t

13e 2 2t sin

- точное решение данной задачи.

В последних двух строках табл. 2.1 приведены значения точного решения

задачи и

модуля

разности

при

0,0312 . Для

данной задачи

(t)	(t) 0 , f IV x		13	4 sin		x ,	следовательно M		13 4	и оценка
								1
			16		2				16


погрешности приближенного решения будет
		u	u	0, 0312 13			4 a2 h2 0, 4116 .
				0, 0312 13

				3		16
				3		16

2.2 Метод сеток для уравнений гиперболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения свободных колебаний од-

нородной струны [5]: найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

2u	a2	2u	,	(2.14)
t2		x2

начальным условиям

u(x, 0)	f (x),		u(x, 0)

				t

и краевым условиям
u(0,t)		(t),		u(s,t)
Как и для уравнения параболического
0 x s прямоугольную сетку
xi	ih (i	0,1,		, n), t j

x	(0	x s)	(2.15)
(t) (t		0) .	(2.16)
типа,		построив в полосе	t 0 ,
jl	( j	0,1, 2, ) ,

заменяем производные в уравнении (2.14) разностными отношениями (2.3):

ui, j 1

2u ij

ui, j 1

ui 1, j

2u ij

ui 1, j

Обозначив

, получим разностное уравнение

i 1, j

(2.17)

i, j 1

i 1, j

которое является устойчивым при

[1]. В частности, при

1 уравне-

ние (2.17) принимает наиболее простой вид:

ui, j

1 ui 1, j

ui 1, j

ui, j 1 .

(2.18)

Оценка погрешности приближенного решения, полученного из уравнения

(2.17) в полосе 0 x s , 0

T , имеет вид

u u

h 2M

T T

2 M

k u

где u - точное решение; M k

max

3, 4 .

Из уравнения (2.17) видно, что для полу-

чения значений u(x, t)

на ( j 1)

слое исполь-

зуются значения u(x, t) на

слоях j

и ( j

1) ,

(рис. 2.3). Для начала вычисления необходимо

знать значения u(x, t)

на первых двух слоях:

j 0 , j 1 ,

которые можно определить од-

ним из следующих способов, используя на-

чальные условия (2.15) .

П е р в ы й

с п о с о б .

Заменяя в началь-

ном условии (2.15) производную ut (x, 0)

раз-

ностным отношением

ui1

ui0

i ,

для определения u(x, t) на слоях

0 , j

1 получим

ui0

fi , ui1

fi l

i .

Оценка погрешности значений ui1 имеет вид [1]:

max

Рис. 2.3

В т о р о й с п о с о б .

Заменяем производную ut (x, 0) разностным отно-

шением

ui1

ui, 1

, где

- значение функции

u(x, t)

на слое

1. Тогда

из начальных условий (2.15) получаем

ui0

fi ,

ui1

ui, 1

i .

Записав разностное уравнение (2.18) для слоя

0 :

ui1

1,0

ui 1,0

ui,

и исключив из последних двух уравнений значения ui,

1 , получим

i 1

i 0

Оценка погрешности значений ui1

имеет вид [1]:

k u

max

3, 4 .

Т р е т и й с п о с о б .

Если функция

f (x)

задана аналитически и имеет

конечную вторую производную, то значения

ui1 можно определить с помо-

щью формулы Тейлора:

Из уравнения (2.14) и начальных условий (2.15) имеем

a2 f

Тогда

ui1

ui0

a2l2

fi .

Погрешность значений ui1 ,

полученных по этой формуле, имеет порядок

O(l3 ) .

Аналогичным образом применяется метод сеток при решении смешанной

краевой задачи для неоднородного волнового уравнения

F x,t .

В этом случае разностное уравнение имеет вид

2u u

2 u

2h2

F .

i, j 1

i 1, j

Пример 2.2. Методом сеток найти приближенное решение задачи

utt

16uxx ,

u x, 0

2sin

x, 0

sin

4 ,

0,t

4,t

с шагом

0,5 , используя первый и второй способы для вычисления значе-

ний ui1 . Результат сравнить с аналитическим решением задачи.

Для решения воспользуемся соотношением (2.18) при

1 . Тогда, учи-

тывая, что шаг по аргументу

равен 0,5, получим шаг по аргументу t рав-

ным l

h a

1 8 0,125 . Результаты вычислений будем заносить в таблицу

следующим образом: сначала заполняем столбцы, соответствующие значени-

ям x0	0 и x8 4 (согласно краевым условиям), затем вычисляем значения
u(x, t)	на первых двух слоях (согласно начальным условиям), и далее по

формуле (2.18) вычисляем значения uij на последующих слоях: 34

ит.д.

Пе р в ы й с

формулам

ui 0

j 1: ui,2		ui 1,1	ui 1,1	ui,0 ;
j	2 : ui,3	ui 1,2	ui 1,2	ui,1 ;
j	3 : ui,4	ui 1,3	ui 1,3	ui,2

п о с о б . Значения u(x, t) на первых двух слоях находим по

fi 2 sin		xi , ui1 fi l i	2 l sin		xi ;
	4			4

заносим в табл. 2.2.

В т о р о й

с п о с о б .

Значения u(x, t)

на первых двух слоях находим по

формулам

2sin

x ,

sin

l sin

4 i

i 1

заносим в табл. 2.3.

В табл. 2.2 и 2.3 представлены результаты вычислений. В последних строках таблиц приведены значения точного решения задачи и модулей раз-

ности

при t

0,875 . Аналитическое решение задачи определяется по

формуле (см. приложение I):

x,t

A cos

B sin

sin

n 1

где A

2sin

sin

0 ,

4 0

a n 0

при n

1 :

4 sin2

1 4

cos

sin

2 ,

2 0

4 sin2

1 4

cos

sin

1 .

2 0

4 0

Следовательно, функция

u x, t

2 cos

sin

t sin

является точным

решением рассматриваемой задачи.

Таблица 2.2 – Результаты вычислений для примера 2.2 (первый способ)

	i		0	1	2	3	4	5	6	7	8
j	t j	xi	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

0		0,0	0	0,7654	1,4142	1,8478	2	1,8478	1,4142	0,7654	0
1		0,125	0	0,9157	1,6919	2,2106	2,3927	2,2106	1,6919	0,9157	0
2		0,250	0	0,9265	1,7121	2,2368	2,4212	2,2368	1,7121	0,9265	0
3		0,375	0	0,7964	1,4714	1,9227	2,0809	1,9227	1,4714	0,7964	0
4		0,500	0	0,5449	1,0070	1,3155	1,4242	1,3155	1,0070	0,5449	0
5		0,625	0	0,2106	0,3890	0,5085	0,5501	0,5085	0,3890	0,2106	0
6		0,750	0	-0,1559	-0,2879	-0,3764	-0,4072	-0,3764	-0,2879	-0,1559	0
7		0,875	0	-0,4985	-0,9213	-1,2036	-1,3029	-1,2036	-0,9213	-0,4985	0
8		1,000	0	-0,7654	-1,4142	-1,8478	-2	-1,8478	-1,4142	-0,7654	0
u(x;0,875)			0	-0,5607	-1,0360	-1,3536	-1,4651	-1,3536	-1,0360	-0,5607	0

	u	u	0	0,0622	0,1147	0,1500	0,1622	0,1500	0,1147	0,0622	0
	u	u	0	0,0622	0,1147	0,1500	0,1622	0,1500	0,1147	0,0622	0

Таблица 2.3 – Результаты вычислений для примера 2.2 (второй способ)

j t j

00,0

10,125

20,250

30,375

40,500

50,625

60,750

70,875

81,000

u(x;1, 0)

u u

0	1	2	3	4	5	6	7	8

0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

0	0,7654	1,4142	1,8478	2	1,8478	1,4142	0,7654	0
0	0,8574	1,5843	2,0699	2,2405	2,0699	1,5843	0,8574	0
0	0,8189	1,5131	1,9770	2,1398	1,9770	1,5131	0,8189	0
0	0,6557	1,2116	1,5829	1,7135	1,5829	1,2116	0,6557	0
0	0,3927	0,7255	0,9481	1,0260	0,9481	0,7255	0,3927	0
0	0,0698	0,1292	0,1686	0,1827	0,1686	0,1292	0,0698	0
0	-0,2635	-0,4871	-0,6362	-0,6888	-0,6362	-0,4871	-0,2635	0
0	-0,5569	-1,0289	-1,3445	-1,4551	-1,3445	-1,0289	-0,5569	0
0	-0,7654	-1,4143	-1,8478	-2,0020	-1,8478	-1,4143	-0,7654	0
0	-0,5607	-1,0360	-1,3536	-1,4651	-1,3536	-1,0360	-0,5607	0

0	0,0038	0,0071	0,0091	0,0100	0,0091	0,0071	0,0038	0

Сравнивая результаты вычислений, видим, что лучший результат вычислений получается при втором способе заполнения первых двух слоев таблицы.

2.3 Метод сеток для задачи Дирихле

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона (задачу Ди-

рихле): найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению

u	2u	2u	f x, y	,	(2.19)
u	x2	y2	f x, y	,	(2.19)
	x2	y2
а на границе - условию

	u	(x, y) ,

где (x, y) - заданная непрерывная функция.

Выбрав шаги h и l	по x	и y соответственно, строим сетку
xi x0 ih (i	0,	1, 2, ), y j	y0		jl ( j 0, 1, 2,	)
и заменяем в каждом внутреннем узле			x , y		производные	2u	,	2u	ко-
и заменяем в каждом внутреннем узле			x , y	j	производные		,		ко-
			i	j		x2		y2
						x2		y2

нечно разностными отношениями (2.3), а уравнение (2.19) – конечноразностными уравнениями:

	ui 1, j 2u ij ui 1, j	ui, j 1 2u ij	ui, j 1	fij .	(2.20)
	h2	l2		fij .	(2.20)
Уравнения (2.20) вместе со значениями uij			в граничных узлах образуют

систему линейных алгебраических уравнений. Наиболее простой вид эта сис-

тема имеет для прямоугольной области и при l					h . В этом случае уравнения
(2.20) записываются в виде
u	u	u	u	4u	h2 f	ij	,	(2.21)
i 1, j	i 1, j	i, j 1	i, j 1	ij		ij

а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции. При f (x, y) 0 уравнение (2.19) называется уравнением Лапласа и соответствующие конечно-разностные уравнения имеют вид

(2.22)

i 1, j

i, j 1

При этом погрешность аппроксимации имеет оценку

max

При составлении уравнений (2.21) и (2.22) была использована схема узлов, представленная на рис. 2.4. На рис. 2.5 показана другая схема узлов, при которой конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнению Лапласа, принимают вид

Рис. 2.4. Рис. 2.5.

u	1	u	u	u	u		,
						i 1, j 1
ij	4	i 1, j 1	i 1, j 1	i 1, j 1

а для уравнения Пуассона

	1					h2			,	(2.23)
u		u	u	u	u		f	ij

ij	4	i 1, j 1	i 1, j 1	i 1, j 1	i 1, j 1	2

причем погрешность аппроксимации не превосходит 4h2 M4 . 3

Другие схемы узлов, расположенных определенным образом около узла (i, j) , рассмотрены в [1].

Пример 2.3. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике A(0, 0), B(0,1), C(1, 2), D(2, 0) :

uxx

uyy

xy,

2 y2 , u

3 x,

(21)

Построим сетку с шагом h 0,5 , получим три внутренних узла (рис. 2.6). Запишем в этих узлах конечно-разностные уравнения согласно (2.21) и под-

u02	3	u12	2,5	u22	2	u32	1,5	u42	1
u01	2, 25		u11		u21		u31	u41	1,5
u00	2	u10	2	u20	2	u30	2	u40	2

Рис. 2.6.

ставим известные из краевых условий значения uij в граничных узлах:

u		1		u				u			u			u			1		x				y			1		u			2, 25			2,5	2	1			1		1		,
u				u				u			u			u					x				y					u			2, 25			2,5	2								,
11		4				21			01		12			10			16				1		1			4			21							16			2		2
u			1				u		u		u			u					1			x			y		1		u			u		2 2			1	1		1	,
u	21						u		u		u		22	u		20						x		2	y				u	31		u		2 2				1			,
	21		4				31			11			22			20	16							2	1		4			31			11			16			2
			4														16										4									16			2
u		1			u			u			u			u				1		x				y			1		1,5			u		1,5	2	1			3		1	.
u					u		41	u		21	u	32		u	20					x			3	y					1,5			u	21	1,5	2							.
31		4					41			21		32			20		16						3	1			4						21			16			2		2
		4															16										4									16			2		2

После преобразования получим алгебраическую систему уравнений относи-

тельно неизвестных значений												uij		во внутренних узлах:
													64u11				16u21					107,
										8u11				32u21					8u31			31,
													16u21					64u31				77.
Решив эту систему методом Гаусса, получим
	u11				965			2,1540,			u21			27					1,9286, u31					755		1, 6853 .

					448									14										448
					448									14										448
Запишем теперь во внутренних узлах конечно-разностные уравнения со-
гласно (2.23) и подставим значения uij																	в граничных узлах:
u		1		u			u		u		u			1 1 1							2 2 3 2					1			71		,
u				u		00	u	20	u	02	u	22									2 2 3 2										,
11		4				00		20		02		22		8		4			4							32	32
		4												8		4			4							32	32
u		1		u			u		u		u			1		1			1		2	2	2,5		1,5		1					31	,
u	21			u			u	30	u		u	32									2	2	2,5		1,5								,
	21	4				10		30	12			32		8		2			4								16				16
		4												8		2			4								16				16
u		1	u				u		u		u				1 3 1						2 2 2 1					3		53		.
u	31	4	u			20	u	40	u	22	u		42		8		4			4	2 2 2 1					32				.
	31					20		40		22			42														32
																											32
Выполнив несложные действия, получим
							u11		2, 2188,					u21		1,9375,						u31	1, 6563 .

2.4 Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений

Непосредственное решение системы конечно-разностных уравнений методами последовательного исключения при большом числе узлов оказывается

слишком громоздким. Тогда более удобны итерационные методы решения, которые учитывают специальный вид таких систем [1-3] . Рассмотрим наиболее простой метод – процесс усреднения Либмана для систем вида (2.22), согласно которому вычисления ведутся следующим образом: выбрав начальные приближения uij(0) , последовательные приближения uij(k 1) для внутренних

узлов сеточной области определяются по формуле

u( k 1)	1	u( k )
ij	4	i 1, j
	4

u( k )	u( k )	u( k )	k 0,1, 2	.	(2.24)
i 1, j	i, j 1	i, j 1

Доказано [5], что для любого шага сетки h процесс Либмана сходится к точному решению независимо от выбора начальных значений, т.е. существует

lim u( k ) u ,

k ij ij

причем погрешность приближенного решения имеет порядок O h2 .

Обычно итерации продолжаются до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадет требуемое количество десятичных знаков. Для оценки погрешности приближенного решения уравнения Лапласа можно использовать принцип Рунге [1], согласно которому погрешность h при-

ближенного решения uh , полученного с шагом h , дается приближенной формулой

	uh u2h	,
h	3	,
h

где u2h - приближенное решение, полученное с шагом 2h .

Пример 2.4. Применяя метод усреднения Либмана, найти приближенное решение задачи (21) с шагом h 12 . Итерации проводить с точностью до

0,01.

Запишем итерационную формулу для соотношения (2.22):

u(k 1)	1	u(k )
ij	4	i 1, j
	4

u(k )	u(k )	u(k )	h2	f		k 0,1, 2 .	(2.25)
					ij
i 1, j	i, j 1	i, j 1	4

В предлагаемой сеточной области (рис. 2.6) три внутренних узла u11 , u21 , u31 , соотношение (2.25) для каждого их этих узлов примет вид

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вариационные методы Старинова

#
12.07.2020451.07 Кб52Лекция 4.ppt
#
12.07.2020659.46 Кб38Лекция 5.ppt
#
12.07.2020570.37 Кб47Лекция 6.ppt
#
12.07.202051.71 Кб32ЛР 1.doc
#
12.07.2020176.64 Кб34ЛР2.doc
#
12.07.20202.35 Mб55Приближенные методы-Буханько АА.pdf