Вариационные методы Старинова / Приближенные методы-Буханько АА

ISBN 978-5-7883-0816-6

© Самарский государственный

аэрокосмический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

4

1 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

5

1.1

Метод конечных разностей ...........................................................................

5

1.2

Метод прогонки ..............................................................................................

8

1.3

Базисные функции ........................................................................................

15

1.4

Метод Галеркина ..........................................................................................

16

1.5

Метод коллокаций ........................................................................................

20

1.6

Метод Ритца для простейшей краевой задачи ...........................................

21

2

МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ

25

2.1

Метод сеток для уравнений параболического типа ..................................

27

2.2

Метод сеток для уравнений гиперболического типа ................................

32

2.3

Метод сеток для задачи Дирихле ................................................................

37

2.4

Итерационный метод решения системы

конечно-разностных уравнений...........................................................................

39

3

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

43

3.1

Метод последовательных приближений ....................................................

44

3.2

Метод конечных сумм .................................................................................

47

3.3

Метод вырожденного ядра ..........................................................................

51

4 ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

55

I

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений .......

55

II

Уравнения в частных производных ............................................................

55

III

Интегральные уравнения .............................................................................

58

ПРИЛОЖЕНИЕ I . Аналитические решения уравнений в частных

производных (метод Фурье)

61

I.1

Смешанная задача о колебаниях однородной струны ..............................

61

I.2

Смешанная задача о теплопроводности в однородном стержне ..............

62

ПРИЛОЖЕНИЕ I I. Связь между дифференциальным уравнением и

уравнением Вольтерра

64

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

66

L[ y]

y

p(x) y

q(x) y

f (x),

(1.1)

a [ y]

0 y(a)

1 y (a)

A,

(1.2)

b [ y]

0 y(b)

1 (b)

B,

где

p(x), q(x), f (x)

- известные непрерывные на отрезке

[a,b] функции,

0 ,

1,

0 ,

1, A, B -

заданные

постоянные,

причем

|

0 | | 1 | 0 и

| 0 |

|

1 |

0 . Если

A B

0 ,

то краевые условия (1.2)

называются одно-

равноотстоящих узлов с некоторым

шагом

h

b

a

. Точки разбиения

n

имеют абсциссы

x0

a , xn

b , xi

x0

ih

( i

1, n 1 ).

Получаемые в результате расче-

та приближенные значения искомой

Рис. 1.1

функции y(x)

(рис. 1.1) и ее произ-

водных y (x) ,

y (x) в узлах

xi обозначим через

yi , yi , yi соответственно.

Также введем обозначения

pi

p(xi ), qi q(xi ), fi

f (xi ) .

y

yi 1

yi

, y

yi 2 2yi 1 yi

,

(1.3)

h2

i

h

i

y

y1

y0

, y

yn yn 1

.

(1.4)

0

h

n

h

yi 2

2 yi 1

yi

yi 1

yi

pi

qi yi

fi (i 0, n 2),

h2

h

y1

y0

yn

yn 1

(1.5)

0 y0

A,

0 yn

B,

1

h

1

h

y

1

y 0,5y 0,5x2

ln x 4 ,

(11)

x

удовлетворяющее краевым условиям

y(1)

y (1)

1,

(12)

y(2)

0,5y (2) 1,1137,

используя конечно-разностные отношения.

Выберем

шаг

h

0, 2 ,

получим

шесть

узлов сетки: x0

1 , x1 1, 2 ,

x2 1, 4 , x3

1, 6 ,

x4

1,8 ,

x5

2 . Используя формулы (1.3), заменяем урав-

yi 2

2 yi 1 yi

1

yi 1

yi

0,5y

0,5x2

ln x

4,

i 0,1, 2,3 .

h2

x

h

i

i

i

i

В результате приведения подобных членов получаем

y

1

h

0,5h2

y

2

h

y

h2 0,5x2

ln x 4 .

(13)

i 1

2

i

xi

xi

i

i

i

В граничных узлах краевые условия (12) согласно (1.4) принимают вид

y

y1

y0

1,

y 0,5

y5

y4

1,1137.

0

h

5

h

Записав предпоследнее уравнение для каждого узла i

0,1, 2,3 и добавив по-

следние уравнения, получим систему

0,82 y0 1,8 y1

y2

0,18,

0,853y1

1,833y2

y3

0,182,

0,877 y2

1,857 y3

y4

0,186,

0,895 y3

1,875 y4

y5

0,192,

0,8 y0

y1

0, 2,

0,3y5

0,5 y4

0, 223,

решая которую, получаем

y0

1, 066,

y1

1, 053,

y2

1, 201,

y3

1, 485,

y4

1,891, y5 2, 408 .

Для

сравнения

приведем

значения

точного

решения

задачи (11),

(12)

y(x)

x2

2ln x в соответствующих точках:

y(x0 )

1, 000,

y(x1 )

1, 075,

y(x2 )

1, 287,

y(x3 )

1, 620,

y(x4 )

2, 064,

y(x5 )

2, 614.

Другое приближенное решение получается, если производные заменить

центрально-разностными отношениями

y

yi 1

yi 1

, y

yi 1

2yi

yi 1

.

h2

i

2h

i

Тогда получим систему

yi 1

2 yi

yi 1

yi 1

yi 1

pi

qi

yi

fi

(i

1, n

1),

h2

2h

(1.6)

y1

y0

yn

yn

0 y0

A,

0 yn

1

B.

1

h

1

h

Замечание: Если функция

y

y(x) достаточно гладкая, то более точные

значения дают формулы

y

y2

4y1

3y0

,

y

3yn

4yn 1

yn

2

n

2 .

(1.7)

0

2h

n

2h

Оценка погрешности метода конечных разностей для задачи (1.1), (1.2)

имеет вид

y y(x )

h2 M4

(b a)2 ,

i

i

96

где y(x )

— значение точного решения при x

x , M

4

max

y(4) (x)

.

i

i

x

a,b

y

1

h

y 2 0,5h2

y

1

h

h2

0, 5x2

ln x 4

i 1

2xi

i

i 1

2xi

i

i

(i

1, 2,3, 4), (14)

y0

y2

4 y1

3y0

1,

y5

0,5

3y5

4 y4

y3

1,1137.

2h

2h

Подставляя

значения

соответствующих

коэффициентов, последняя система примет

вид

1, 083y2

1,98 y1

0,917 y0

0,182,

1, 071y3

1,98 y2

0,929 y1

0,186,

1, 063y4

1,98 y3

0,938 y2

0,192,

1, 056 y5

1,98 y4

0,944 y3

0, 201,

2, 6 y0

4 y1

2 y2

0, 4,

1,1y5

2 y4

0,5 y3

0, 446.

Решением этой системы будет

Рис. 1.2

y0

1, 037,

y1

1, 099,

y2

1, 299,

y3

1, 622,

y4

2, 055,

y5

2,594.

y

m y

k y

h2 f

,

i 2

i i 1

i i

i

(1.8)

m

2 hp , k

i

1 hp h2 q (i 0, n 2).

i

i

i

i

y

fi

h2

1

y

ki

y

(1.9)

i 1

m1

i 2

i

mi

mi

yi 1

ci (di

yi

2 )

i

0, n

2

,

(1.10)

где ci ,

di ( i 1, n 2 ) – некоторые коэффициенты. Из (1.10) следует, что

yi

ci 1 (di 1

yi 1 ) .

(1.11)

Подставляя (1.11) в уравнение (1.8), получим

y

m y

k c

(d

i 1

y

) h2 f

i

,

i 2

i

i 1

i i 1

i 1

откуда

y

1

h2 f

k c

d

y

.

1

i

1

i

1

i

mi

ki ci

i i

i 2

1

Сравнивая последнее выражение с (1.10), получим для определения

ci , di

рекуррентные формулы:

1

h2

c

,

d

i

f

k c

1

d

i

1

(i

1, n

2).

(1.12)

i

mi

ki ci

i

i i

1

Для определения коэффициентов c0 ,

d0

запишем соотношения (1.11), (1.12)

при i

0 :

y0

c 1

d 1

y1

,

c

1

,

d

h2 f

k

c

d

0

0

1

1

0

m0

k0c

0

1

и выразим из первого краевого условия (1.5)

y0

1

Ah

y1 .

0 h

1

1

Сравнивая последние два равенства, получим

c

1

0 h

,

d

k0 Ah

f

h2 .

(1.13)

0

0

m0

( 1

0 h) k0 1

0 h

0

1

Вычисления по методу прогонки проводятся следующим образом.

Прямой ход. По формулам (1.8) вычисляем значения mi

, ki . Находим по

формулам (1.13) коэффициенты c0 , d0 ,

а затем, применяя последовательно

yn 1

cn 2 (dn 2

yn ),

0 yn

yn

yn 1

B.

1

h

Разрешив полученную систему относительно

yn , определяем

yn

1cn

2 dn

2

Bh

,

(1.14)

1 (1

cn 2 )

0 h

используя уже найденные значения

cn 2 ,

dn 2 . Далее, последовательно при-

меняя рекуррентные формулы (1.10), вычисляем значения yn ( i

n 1, ,1):

yn 1

cn 2 (dn 2

yn ),

yn 2

cn 3 (dn 3

yn 1 ),

(1.15)

y0

1 y1

Ah

.

(1.16)

0 h

1

Прямой ход

Обратный

i

xi

mi

ki

fi

ход

ci

di

yi

0

x0

m0

k0

f0

c0

d0

y0

1

x1

m1

k1

f1

c1

d1

y1

2

x2

m2

k2

f2

c2

d2

y2

…

…

…

…

…

…

…

…

n 2

xn 2

mn 2

kn 2

fn 2

cn 2

dn 2

yn 2

n 1

xn 1

yn 1

n

xn

yn

y

1

y 0,5y 0,5x2

ln x 4 ,

(11)

x