Пример 6.1. Решение простейшей задачи вариационного исчисления МКР
Решим систему уравнений (6.5) с использованием MathCad:
|
|
101 |
49.5 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
49.5 1 |
|
|
|
|
49.5 |
101 |
49.5 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
49.5 |
101 |
|
49.5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
49.5 |
101 |
49.5 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
||
A |
|
0 |
0 |
0 |
|
49.5 |
101 |
49.5 |
0 |
|
0 |
0 |
B |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
49.5 |
101 |
49.5 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
49.5 |
101 |
|
49.5 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
49.5 |
101 |
49.5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
49.5 |
101 |
|
49.5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.921 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.874 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.904 |
|
|
|
|
|
0.95 |
|
|
|
|
|
z |
A 1 B |
|
z |
|
0.97 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.075 |
|
|
|
|
|
ya( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.223 |
|
|
|
|
|
0.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.421 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1.677 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
9 y0 |
1 |
|
|
yi |
zi 1 |
|
y10 |
2 |
|
0.85 0.85 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.8 |
0.6 |
0.4 |
|
j |
0 |
10 |
x |
1 |
0.2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x t |
0.2 |
|||||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.1. Решение простейшей задачи вариационного исчисления МКР
График экстремали показан на рисунке сплошной красной линией, он практически сливается с теоретическим решением – штриховой синей линией.
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
-1 |
|
1 |
|
0.921 |
|
1 |
|
-0.8 |
|
2 |
|
0.88 |
|
2 |
|
-0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0.874 |
|
3 |
|
-0.4 |
y |
4 |
0.904 |
x |
4 |
-0.2 |
||
|
0.97 |
|
0 |
||||
|
5 |
|
|
5 |
|
||
|
6 |
|
1.075 |
|
6 |
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
1.223 |
|
7 |
|
0.4 |
|
8 |
|
1.421 |
|
8 |
|
0.6 |
|
9 |
|
1.677 |
|
9 |
|
0.8 |
|
10 |
2 |
|
10 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
ya( t ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1 |
||||
|
|
x |
t |
|
Численные методы 2. Метод Ритца
В методе Ритца решение вариационной задачи ищется в виде линейной комбинации известных, заданных заранее базисных функций. После подстановки такой линейной комбинации в функционал он становится функцией неизвестных коэффициентов. Коэффициенты подбираются так, чтобы функционал принимал экстремальное значение. Таким образом, вариационная задача сводится к задаче исследования на экстремум функции нескольких переменных.
Линейная комбинация базисных функций должна удовлетворять граничным условиям при любых значениях коэффициентов.
Решить методом Ритца пример 2a для следующих базисных функций: линейную функцию, одну полуволну синуса и две полуволны синуса.
Сравнить решение с аналитическим. Построить графики.
y x 0 x 1 1 x 2 2 x
Будем искать решение в виде |
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
||||||||||
0 x y1 |
|
y2 |
|
y1 |
x x1 ; |
1 |
x sin |
x x1 |
; |
2 |
x sin 2 |
x |
|
x1 |
. |
||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
Численные методы 2. Метод Ритца
Составим программу для этого примера. Решение задачи методом Ритца имеет вид
y x |
x 3 |
0.550804 sin |
x 1 |
0.0292844sin x 1 |
|
|
2 |
|
|||
2 |
|
|
|
||