Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5158 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
ikot.chulakov@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)
Предмет:
Вариационное исчисление
Файл:
Вариационные методы Старинова / Лекция 6.ppt
Скачиваний:
47
Добавлен:
12.07.2020
Размер:
570.37 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

Самарский государственный аэрокосмический университет

Лекция 6.

Задача на условный экстремум. Численные методы решения вариационных задач

О. Л. Старинова

Кафедра Космического машиностроения

2015 г.

Пример 5.2 Задача об оптимальном выведении на орбиту спутника Земли

Рассмотрим задачу об оптимальном по расходу топлива выведении спутника на заданную орбиту Земли. Введем следующие допущения: 1. Двигатель работает без выключения, тяга постоянна, ракета одноступенчатая. Тогда закон изменения массы ракеты можно записать:

m t mo t

где m0 - стартовая масса ракетоносителя, =P/c - секундный расход топлива, P - тяга двигателей, с – скорость истечения топлива.

2.Движение будем рассматривать в плоскопараллельном гравитационном поле, т.е. считать g=const .

3.Сопротивление воздуха отсутствует, траектория выведения плоская.

Пример 5.2 Продолжение

В этой постановке задачу оптимизации можно рассматривать, как задачу минимизации функционала

tk

J dt min ,

t0

при выполнении следующих дифференциальных условий (уравнения движения):

x Vx , y Vy ,

Vx m0 P t cos ,

Vy m0 P t sin g,

Пример 5.2 Продолжение

Введем четырехмерный вектор функций Лагранжа (по компоненте на каждое ограничение) и составим вспомогательный функционал:

 

*

tk

 

 

 

 

 

P cos

 

 

P sin

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

m t

 

m t

 

 

x x Vx y y Vy Vx Vx

Vy Vy

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

Составим пять уравнений Эйлера (для каждой из оптимизируемых функций) и решим систему дифференциальных уравнений:

 

 

 

 

 

 

x c1

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

y c2

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

Vx

c1t c3

 

 

 

0

 

 

x Vx

 

Vy

c2t c4

 

 

 

0

 

 

 

y Vy

 

 

 

c2t c4

 

Vx

sin Vy

cos 0

tg

 

 

c1t c3

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.2 Продолжение

Подставим в уравнений для оптимального угла начальное условие: при t=0, θ=90 (ракета стоит вертикально). Поэтому константа с3=0.

Сократим дробь в правой части уравнения для угла управления тягой

на -с1

и переобозначим постоянные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ~

 

 

~

~

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

tg c2t c4 ,

sin

 

c2t c4

 

 

 

, cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

2

t

2

 

 

 

 

2

t

2

 

 

 

 

c2t c4

 

 

 

 

 

c2t c4

 

 

 

Подставим полученную оптимальную функцию управления вектором

тяги в уравнения движения:

( t c2 c4)

atan c2

c4

180

 

 

t

 

x Vx , y Vy ,

 

 

 

P

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Vx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0

t

~

~

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

c2t~ c4

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

~

t

 

 

 

 

 

 

 

 

c2t

c4

 

 

 

g,

Vy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0 t

~

~

 

2

t

2

 

 

 

 

 

c2t c4

 

 

 

 

100

50

( t

1

10 )

 

 

 

( t

1

15 )

 

 

 

( t

1

20 )

0

50

0

5

10

15

20

 

 

t

 

 

Пример 5.2 Продолжение

Эти уравнения имеют сложное аналитическое решение. Произвольные постоянные можно найти из граничных условий – параметров орбиты спутника. Однако аналитически они не выражаются из точных решений для системы уравнений движения. Поэтому обычно используется численное решение системы уравнений.

Кроме того, при выведении реальной ракеты-носителя необходимо учитывать влияние атмосферы, изменение гравитации, изменение тяги с высотой полета, отделение ступеней и другие факторы.

Посмотрим программный комплекс оптимизации выведения трехступенчатой ракеты-носителя на орбиту максимальной энергии.

Численные методы

1.Метод конечных разностей (МКР)

ВМКР экстремаль аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Варьируются ординаты y(x) в заданных точках, и функционал становится функцией этих неизвестных ординат y1, y2, … . Рассмотрим

применение МКР к вариационной задаче для интегрального функционала. Разобьём интервал [a, b] на n участков одинаковой длины x=(b-a)/n. Будем обозначать точки деления xk. Граничные точки

в этом примере в дальнейшем будем обозначать x0 и xn. Функционал J будет равен сумме функционалов на отдельных участках Jk. Так как

участки малые, применим для вычисления интегралов формулу

 

касательных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

x

k 1

x

k

 

y

k 1

y

k

 

y

k

y

k 1

 

 

Jk F x, y,

y' dx F

 

 

,

 

 

,

 

 

x

(6.1)

 

2

 

 

2

 

 

 

x

 

xk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь исходный функционал будет функцией неизвестных ординат y1,

y2, …, yn-1:

n

n

xk 1

xk

 

yk 1

yk

 

yk yk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

J y1, y2 ,...,

yn 1 Jk x F

 

 

,

 

 

,

 

 

 

2

2

x

(6.2)

 

k 1

k 1

 

 

 

 

Численные методы 1. Метод конечных разностей (МКР)

Значения y0 и yn известны – это заданные граничные условия. Для нахождения экстремума продифференцируем J по переменным y1, y2, …, yn-1, приравняем производные нулю и решим полученную систему уравнений. При вычислении J/ yk учтём, что от yk зависят только два слагаемых: Jk и Jk+1.

J

Jk

Jk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk

yk

yk

 

 

 

 

 

xk 1 xk

,

yk 1 yk

,

yk yk 1

x

Fy

 

 

 

 

 

 

2

 

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3)

 

xk 1

xk

,

yk 1

yk

,

yk yk 1

 

 

Fy'

 

 

 

 

 

 

 

2

2

x

 

 

 

 

 

xk xk 1

 

yk yk 1

 

yk 1 yk x

xk xk 1

 

yk yk 1

 

yk 1 yk

Fy

 

,

 

,

 

 

 

Fy'

 

,

 

,

 

.

2

2

x

2

2

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Численные методы 1. Метод конечных разностей (МКР)

После сокращения на x получим систему линейных алгебраических уравнений, которая своей структурой напоминает уравнение Эйлера:

1

 

 

x

k 1

x

k

,

 

y

k 1

y

k

,

 

y

k

y

k 1

 

 

 

 

 

 

x

k

x

k 1

 

,

y

k

y

k 1

,

y

k 1

y

k

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

k

k 1

 

 

y

k

k 1

 

y

k 1

y

k

 

 

 

 

 

 

 

x

k 1

k

 

 

y

k

1

k

 

 

y

k

y

k 1

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y'

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.4)

k 1, n 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система уравнений (6.4) может рассматриваться как конечномерный аналог уравнений Эйлера.

Пример 6.1. Решение простейшей задачи вариационного исчисления МКР

Решить методом конечных разностей пример 2.a.

J y

1

x2

y2

y'2 dx;

y 1 1;

 

 

 

 

 

 

 

y 1 2.

1

 

 

 

Сравнить решение с аналитическим. Построить графики. Конечномерный аналог уравнения Эйлера для этого функционала для 10 интервалов разбиения имеет вид:

 

1

 

 

yk 1 yk

 

 

 

yk yk 1

 

 

1

 

 

yk 1

yk

 

 

 

yk yk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

0,2

0,2

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1,9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

yk 1 2 yk yk 1

100

 

2 yk yk 1 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 yk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1,9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49.5yk 1

101yk

49.5yk 1 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.5)

 

 

1,9 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при этом в 1-е уравнение входит y0=1, а в 9-е уравнение y10=2.

Соседние файлы в папке Вариационные методы Старинова
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности