Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 3. Уравнение Эйлера. Функционалы, зависящие от несколькох функций.
Вариационные задачи с подвижными концами
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2015 г. |
Функционалы, зависящие от нескольких функций.
Интегральный функционал может зависеть и от нескольких функций. Рассмотрим случай, когда он зависит от двух функций y(x) и z(x), а также их первых производных.
b |
|
|
|
|
|
|
|||
J ( y, z) |
F |
|
x, y, z, y , z dx |
(3.1) |
|
|
|
|
|
a
В этом случае необходимыми условиями экстремума будут условия
Fy
F
z
d
dx d
dx
|
F |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
(3.2) |
|
|
F |
||
0 |
|||
|
|
||
|
z |
|
Доказательство для этого общего случая не отличается от изложенного выше доказательства формулы Эйлера.
Пример 3.1 Решение вариационной задачи для функционала, зависящего от нескольких функций.
Найти экстремаль функционала, зависящего от двух функций, при заданных граничных условиях, и построить график экстремали в виде двух функций y(x), z(x) и в виде пространственной кривой.
2 |
|
2 2 |
y 2 1; |
z 2 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J y,z |
y' z' 2 yz dx; |
|
|
|
2 |
|
y 2 0; |
z 2 2. |
|
Система уравнений Эйлера после сокращения на –2 имеет вид
y'' z 0;
z'' y 0.
После подстановки произвольных постоянных уравнения экстремали
y 0.06521e x 0.13414e x 0.60075cos x 0.82481sin x;z 0.06521e x 0.13414e x 0.60075cos x 0.82481sin x.
Пример 3.1 Продолжение.
График пространственной кривой строим с помощью MathCad. На рисунке показан трёхмерный график пространственной экстремали.
Вычислим значение функционала на этой экстремали с помощью MathCad.
Лабораторная работа № 3
Экстремаль функционала, зависящего от нескольких функций.
1.Для своего варианта функционала найти экстремаль и построить трехмерный график.
2.Вычислить значение функционала на этой экстремали.
3.Оформить отчет.
Задача вариационного исчисления со свободными концами. Естественные граничные условия
Задачей со свободными концами называется задача об отыскании экстремума интегрального функционала
x2 |
|
J y F x, y, y' dx extr |
(3.3) |
x1
среди всех кривых концы которых лежат на двух заданных вертикалях x=x1, x=x2 , т.е.
y x1 0, |
|
|
|
(3.4) |
|
y x2 0 |
||
|
Задача вариационного исчисления в постановке (3.3, 3.4) называется задачей со свободными концами, а граничные условия в форме (3.4)
– естественными граничными условиями.
Задача вариационного исчисления со свободными концами. Естественные граничные условия
Согласно необходимому условию экстремума, формуле для первой вариации функционала
J y0 Fy' y |
|
x |
2 |
x2 |
dF |
y' |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Fy |
|
ydx |
(3.5) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
x1 |
|
dx |
|
|
||
|
|
x1 |
|
|
||||
и граничным условиям (3.4) , экстремум функционала с естественными граничными условиями достигается при выполнении:
F |
|
|
0, |
F |
|
0 |
(3.6) |
|
|||||||
y |
|
|
y |
|
|||
|
x x |
|
x x |
2 |
|||
1 |
|
|
|
|
|||
Fy |
dFy' |
0 |
(3.7) |
|
dx |
|
|
Пример 3.2 Естественные граничные условия
Найти экстремаль функционала
1
J y x2 y2 y'2 dx; y 1 1
1
рассмотренного ранее в примере 2.1, при том же самом граничном условии на левом конце, и при незаданном граничном условии на правом конце. Сравнить решение с решением задачи 2.1.
Решение задачи 2.1 без учета граничных условий имеет вид (см. пример 2.1):
y x C1ex C2e x
На левом коне промежутка интегрирования граничное условие такое же как в 2.1, а на правом находится в соответствии с (3.6).
Пример 3.2 Продолжение
F |
|
|
0, |
2 y 1 0 |
y |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
С учетом известного общего решения вариационной задачи
y x |
|
C ex C |
e x , |
y 1 C e1 |
C |
e 1 |
||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
Найдем произвольные постоянные, обеспечивающие выполнение граничных условий:
1 C e 1 |
C |
e1 |
||
|
1 |
2 |
|
|
0 C1e1 C2e 1 |
||||
|
||||
Произвольные постоянные, как и в примере 2.1 определяем с помощью MathCad:
Пример 3.2 Продолжение
С учетом найденных постоянных, частное решение уравнения Эйлера имеет вид:
y x 0.04889e x 0.36126e x