Вариационные методы Старинова / ЛР2

Отчет по лабораторной работ №2 студента гр.1312 Денисовой А.М.

Простейшая задача вариационного исчисления.

Дано:

a).

b).

c).

Цель работы: Для своего варианта функционалов найти экстремали и построить их графики. Вычислить значения функционалов на найденных экстремалях.

a).

Запишем для данного функционала дифференциальное уравнение Эйлера:

Решив характеристическое уравнение, получим:

Общее решение:

Подставив в данное решение начальные условия, вычислим Аи В:

С учетом найденных констант частное решение уравнения Эйлера имеет вид:

Рисунок 2 – экстремаль (а)

Вычислим значение функционала на данной экстремали:

b).

Так как функция не зависит от y:

Запишем для данного функционала дифференциальное уравнение Эйлера:

Разделив переменные и проинтегрировав данное выражение, получим:

Подставив в данное решение начальные условия, вычислим Aи B:

С учетом найденных констант частное решение уравнения Эйлера имеет вид:

Рисунок 3 – экстремаль (b)

Вычислим значение функционала на данной экстремали:

c).

Так как функция не зависит от x:

Запишем для данного функционала дифференциальное уравнение Эйлера:

Разделив переменные и проинтегрировав данное выражение, получим:

Подставив в данное решение начальные условия, вычислим Aи B:

С учетом найденных констант частное решение уравнения Эйлера имеет вид:

Рисунок 4 – экстремаль (c)

Вычислим значение функционала на данной экстремали: