21. Геометрические фигуры. Основные понятия.

Точка — это самая простая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Прямую можно представить себе, как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. 

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком (или отрезком прямой). Основное свойство отрезка — это его длина. Длина отрезка — это расстояние между его концами. Измерить отрезок — это значит установить его длину в определенных единицах.

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соеди­няющих их отрезков.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных отданной точки, называемой центром.

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

22. Математические соотношения в треугольнике.

Основные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Пусть в треугольнике ABC

∠C=90∘, a=BC, b=AC – катеты, c=AB – гипотенуза, h=CH – высота к гипотенузе, a1=BH, b1=AH

– проекции катетов на гипотенузу. Тогда

1.a1b1=h2;

2.a1c=a2;

3.b1c=b2;

4.a1+b1=c.

23. Математические соотношения в простейших фигурах (квадрат, прямоугольник, ромб).

24. Многоугольник. Основные понятия, свойства и признаки тел.

25. Многоугольник. Вложенные тела.

26. Призма, прямоугольный параллелепипед.

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Наклонная призма - это призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

Правильная призма.

Призма называется правильной, если основаниями её служат правильные многоугольники и боковые рёбра перпендикулярны к основаниям.

В зависимости от числа углов в основании призма называется треугольной, четырёхугольной, пятиугольной и т. д.

Боковыми гранями любой правильной призмы служат прямоугольники.

По виду основания призмы различают треугольные, четырехугольные, п-угольные призмы.

Треугольная, четырехугольная, ..., n-угольная призма — в основании призмы лежит треугольник, четырехугольник, ..., n-угольник.

Параллелепипед.

Параллелепипед— призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Типы параллелепипеда:

Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;

Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;

Куб - это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.

Основные формулы:

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sбок =Ро*h, где Ро - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности Sпол =Sб+2Sо, где Sо - площадь основания.

Основные элементы:

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.

27. изображение пространственных фигур на плоскости.

28. Алгоритм сложения в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

Законы сложения, основные св-ва

Для начала нужно сказать, что все свойства сложения натуральных чисел справедливы для сложения целых чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел. Перечислим основные свойства сложения.

Во-первых, сложение целых чисел обладает переместительным свойством. Это свойство заключается в том, что результат сложения двух целых чисел не зависит от порядка следования слагаемых. То есть, для двух целых чисел a и b справедливо равенство a+b=b+a. К примеру, в силу рассмотренного свойства справедливо равенство 3+21=21+3; также справедливо равенство (−564)+45=45+(−564); сумма целых отрицательных чисел −2 и −6 754 равна сумме (−6 754)+(−2).

Во-вторых, сложение целых чисел обладает сочетательным свойством. Сочетательное свойство заключается в том, что результат сложения целого числа с суммой двух целых чисел равен результату сложения суммы двух первых целых чисел с третьим. Это свойство сложения проще усвоить, когда оно записано в буквенном виде: a+(b+c)=(a+b)+c, где a, b, c – произвольные целые числа.

Следует заметить, что значение сочетательного свойства сложения целых чисел состоит еще и в том, что оно позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества целых чисел.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78; если к нулю прибавить целое положительное число 999, то в результате получим число 999.

Сейча1с мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0, где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Сложение — это действие, посредством которого единицы первого и второго числа объединяются. Объединяемые числа называются слагаемыми. Число, полученное в результате сложения, называется суммой.

Законы сложения используются для упрощения вычислений. Для натуральных чисел есть два закона сложения: переместительный и сочетательный.

Правило: От перемены мест слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения).

Например: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.

В общем виде: а + Ь = Ь + а.

Правило. Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых (сочетательный закон сложения).

Например: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13).

В общем виде: (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

Часто в примерах для вычислений используются сразу оба закона сложения.

Например: 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.

29. Алгоритм вычитания в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

30. Алгоритм умножения в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

31. Алгоритм деления в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

32. Алгоритм деления с остатком в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

33. Закон сложения. Основные свойства.

34. Дистрибутивный закон, основные свойства.

35. Мера, основные свойства меры в курсе начальной школы.

36. Изучение мер: длина, площадь, объем в курсе начальной школы.

37. Изучение массы в курсе начальной школы.

38. Изучение времени в курсе начальной школы.