1. Теоретико-множественные операции (объединение, пересечение, теоретико-множественная разность) и их приложение к арифметическим операциям.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел

• Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n

• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел

• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

2. Декартово произведение и арифметические операции умножение и деление в начальной школе.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом  А В = {(x;y) | x A, y B}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А В={(2, 3), (2, 5),    (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству  А, а вторая – множеству  В, то данные множества имеют следующий вид:  А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству А В, если  А={a, b, c, d},   B=A. Декартово произведение А В={(a, a), (a, b), (a, c),  (a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.

Количество пар в декартовом прoизведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В:   n(А В)=n(A) n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А , А ,…, A  называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А , вторая – А , …, n-ая – множеству А: А А … A .

Пусть даны множества А ={2, 3}; А ={3, 4, 5}; A ={7, 8}. Декартово произведение А А А ={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),  (2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?»

Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4·6 = 24 (пуговицы).

Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества: А={х, у, z} и В = {n, t, r, s}. Найдем их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:

(х, n), (х, t), (х, r), (х, s),

(y, n), (у, t), (у, r), (у, s),

(z, n), (z, t), (z, r), (z, s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении АхВ равно 3+3+3+3=12. С другой стороны, n(А) = 3, n(В) = 4 и 3·4 = 12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств А и В равно произведению n(А)·n(В).

Вообще если А и В - конечные множества, то (А х В)=n(А) х n(В).

Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где n(А)=а, n(В)=b:·b = n(А х В),

3. Величины. Общая характеристика.

Фигуры у которых площади равны называются равновеликими.

4. Сравнение величин. Способы сравнения величин.

5. Измерение как способ опосредованного сравнения величин. Алгоритм измерения величин.

Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятельности человека на заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различные множества, различные однородные величины, определяя прежде всего, какая из сравниваемых величин больше, как меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода сравнивались с эталоном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, величине – эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал называться единицей измерения. Цель измерения стала более определенной – оценить. Сколько единиц содержится в измеряемой величине. результат измерения стал выражаться числом.  Сущность измерения состоит в количественном дроблении измеряемых объектов и установлении величины данного объекта по отношению к принятой мере. Посредством операции измерения устанавливается численное отношение объекта между измеряемой величиной и заранее выбранной единицей измерения, масштабом или эталоном.  Измерение включает в себя две логические операции:  первая – это процесс разделения, который позволяет ребенку понять, что целое можно раздробить на части;  вторая – это операция замещения, состоящая в соединения отдельных частей (представленных числом мерок).  Деятельность измерения довольно сложна. Она требует определенных знаний, специфических умений, знания общепринятой системы мер, применения измерительных приборов.  В процессе формирования измерительной деятельности у дошкольников по средствам условной мерки дети должны понять, что:  § измерение дает точную количественную характеристику величине;  § для измерения необходимо выбирать адекватную мерку;  § число мерок зависит от измеряемой величины (чем больше величина, тем больше ее численное значение и наоборот);  § результат измерения зависит от выбранной мерки (чем больше мерка, тем меньше численное значение и наоборот);  § для сравнения величин необходимо их измерять одинаковыми мерками.

6. Длина. Математический смысл. Длина свойства величины.

7. Длина. Процедура сравнения объектов по данной величине.

Длина — физическая величина, числовая характеристика протяжённости линий. В узком смысле под длиной понимают линейный размер предмета в продольном направлении (обычно это направление наибольшего размера), то есть расстояние между его двумя наиболее удалёнными точками, измеренное горизонтально, в отличие от высоты, которая измеряется в вертикальном направлении, а также ширины или толщины, которые измеряются поперёк объекта (под прямым углом к длине).

Формирование представлений о длине начинают на контрастных по длине однородных предметах  с использованием приемов приложения и наложения.

Два однородных предмета разной длины, например, карандаши зеленого цвета, кладут рядом, выравнивая один конец каждого предмета по метке (линии). Учитель показывает длинный предмет и называет его, например, длинный. Затем показывает короткий предмет и также называет его (короткий). После этого учитель просит ребенка показать карандаш определенной длины. Подобным образом проводится работа с разнородными предметами.

Сравнение предметов по длине ведётся с использованием приёмов приложения и наложения. Раскладывая полоски и другие предметы разной длины, дети учатся соотносить края слева (можно использовать листы с отчерченной вертикальной линией, к которой прикладывают край полосок).