2) Приближенное вычисление определенных интегралов.

Разлагая подынтегральную функцию f(t) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степенных рядов, представить

интеграл J^f ^^d в виде степенного ряда и подсчитать величину этого

интеграла с заданной точностью при любом значении X из интервала сходимости полученного ряда.

Пример. Разложить функцию j^e

t

dt

0

в степенной ряд по степеням

^ад x^k

ад

и

^ Используя разложение ^e = 2^[, получим ^e' = 2^(- 0*^7 на всей

k=0 ^k! k=0 ^k!

числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим

^X 1 ад

j ^{e_t dt} = £ (-1)

k x

2 k+1

0

k=0

(2k + 1)k! *

Пример. Вычислить J

1 • 2 sm x

dx

о

x

с точностью до 0,001.

^ Известно, что первообразная для функции не выражается

x

через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, используя разложение (31):

. у³ у⁵ у¹ (-1)"y²"+¹

s

3! 5! 1!

(2n +1)!

m у = у - — + — +... + -—— +...

Подставляя вместо у x², получаем

Тогда

sm x

.2

x 6		x10	x14
	+		—
3!		5!	7!
5		9	13
x		x	x
	+
3!		5!	7!

2 2

sm x = x -

+ ... +

Л

_x2

(-1) 'x

и 4n+2

(2' +1)!

, n 4n+1

+

/ 1\n 4

(-1) x

+... + -— +

x 3! 5! /! (2n +1)!

Интегрируя обе части этого равенства, получим:

1 2 sm x

1

f Sill x fl x

l -T*=r^- j+

1

1 1

+

3! 5!

1

7!

+...

+...

dx =

V

x

.14

1

2 6 • 3! 10 • 5! 14 • 7!

+...

0

2 6 • 3! 10 • 5! 14 • 7!

Получили знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям

6 • 3! 36

1

10 • 5! 1200

< 0,001, то с точностью

1 • 2 -I -I

sin x ₇ 1 1 _

dx « « 0,472

l

0

x

2 36

x⁵ x⁹ x¹³

x⁶ x¹⁰ +

признака Лейбница. Так как ^=_L > 0,001, а ¹ до 0,001 имеем

Лекция 16. Ряды Фурье

О

a

+ a ^cosх + Ъ sinx ⁺ •■•⁺ a_n cosnx + Ъ_п sinnx +... = ^a + ^(a_n cosnx + b_n sinnx)

n=1

пределение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где действительные числа a₀ , a_n , b_n (n = 1,2,...) называются коэффициентами ряда.

Теорема. Тригонометрическая система функций

1, Cosx, sinx, cos2x, sin2x,..., cosnx, sinnx (2)

является ортогональной на отрезке [-л; л], т.е. интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [-л; л] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.

Доказательство. Действительно, для любых целых к, n Ф 0 (к Ф n) имеем:

^r 1 п

J

-r

r

1 r

I cos kxcos nx dx = — J [cos(к + n)x + cos(k _ n)x] dx

-r

-r

1

2

sin( к + n)x sin( к - n)x

к + n

к - n

TZ

= 0

(4)

-r

¹ • cosкхdz = — sin к.^x_-r = ⁰, J1. sin kxdx = -¹cosк.X0, (3) — ^к к

Аналогично

7

|^{sin к}^Ь1 ^{nx dx} = ⁰ и J sin kx cos nx dx = 0.

(5)

-r

-r

7Г | 7Г |

Наконец, Jcos² kx dx = — J(1 + cos2kx) dx = —

^2 ^2

-r -r

1

x н sin 2kx

r

-r n

V

2к

-r

Г • 2 1 ^r 1 Г 1 ^Л

sin kx dx = — (1 - cos 2kx) dx = — x sin 2kx

^J 2 ^J_ 2 V 2к

-r

r

= r

(6)

-r

1

r

J

■

1 • 1 dx = x ^K = 2r

J -r

Теорема. Если функция f(x), интегрируемая на отрезке [-л; л], разлагается в тригонометрический ряд

f

n=1

(х) = -° + ^ (а_п cos nx + b_n sin nx) ^

который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.

Коэффициенты a₀, a_n, b_n ряда (7) определяются по формулам (8), (10), (11) единственным образом.

^ао =

₁ ^л

- f f (х) dx, л ^J

-л

а„ =

n

1 ^л

— f f (x)cos nx dx, n = 1,2,...

^Л -л

(8)

(10)

^b

1 л

n =л f, ^f(x)sin Ш ^dx, ⁿ = ¹²

-л

Определение. Пусть f(x) интегрируема на отрезке [-л; л]. Тогда числа a₀, a_n, b_n , найденные по формулам (8), (10), (11), называются коэффициентами Фурье функции fx). Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого определяются по формулам (8), (10), (11), называется рядом Фурье функции fix).

Д

^f (^х)

^а0

2

+ Z ^ап

cos nx + b_n sin nx

n=1

ля интегрируемой на отрезке [-л; л] функцииf(x) записывают

и говорят: функции fix) соответствует (поставлен в соответствие) её ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то знак соответствия заменяется знаком равенства.

Определение. Функция fix) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x₁, x₂,..., x_n-1 на интервалы (a, xj), (x₁, x₂),..., (x_n-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна.

Теорема (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье: признак Дирихле). Если 2л периодическая функция f(x)является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке [-л; л] , то её ряд Фурье сходится во всех точках. Сумма этого ряда равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции и значению ^f(* ~⁰⁾+^{f (}*⁺⁰⁾

в точках разрыва.