1

(1 + x)ⁿ

(1 + x)^a ~1 + ax + ^{a(a 1} x² +... ₊ ^{a(a 1)(a 2)}"'^{(a n} +¹ xⁿ + ...

2!

Радиус сходимости этого ряда

n!

R = lim

n——да

a

n

a(a -1)(a - 2)...(a - n +1)(n +1)!

n+1

=1

= lim

n—<x>

= lim

n—<x>

n!a(a -1)(a - 2)...(a - n +1)(a - n)

т.е. ряд, составленный для функции (1 + x)^a, сходится в интервале (-1; 1).

Можно показать, что при х е (-1; 1) остаточный член Rn(X)

стремится к нулю при n — да. Итак

a(a-1) ₂ a(a-1)(a-2)...(a-n +1) _n

(1 + x) ^a= 1 + ax + ^—- x +... f— x +... ₍₃₅₎

^an+1

a - n

2!

n!

, И„ , n⁽n ^- 1)^2 . . n⁽n ^-1⁾⁽ n ^- 2)...у n

1 I X I X I ... I x

1! 2! n!

Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена)

Основных элементарных функций

- _x x² x³ x" ^ x" _

¹

"—0

^ . x³ x⁵ x⁷ (- 1)"x²"⁺¹ ^ (- 1)"x²"⁺¹

2. ^{sinx — x -}“ + T7^-“ +... + ^—~1Z7~+...^— —~TT~, x E R

3! 5! 7!

(2n +1)!

"—0

(2n +1)!

- , x² x⁴ x⁶ (- 1)"x²" ^ (- 1)"x²"

³ 2! 4! 6! (2")! y (2")! ^{, x E R}

2 3 4

x x x

"—0 n ж

,n+1 ^x

4. in(1 - x) — x - ±-+^ - ij+... - (-1)”⁺¹ ^+... — y (-1)”⁺¹ ±-, x e (—1;1].

2 3 4 " i "

"—1

,, ._a , a(a-1) ₂ a(a-1)(a-2) ₃

₅. (1 + x)^a — 1 + ax + — x + — x +... +

2 !

3 !

2! 3! "! ^{y , x E R}

a(a-1)(a-2)...(a-" +1) " -^a(a- 1)(a-2)...(a-" +1) "

+ : ^x + ..^{— 1}+ У : ^x , X E (—1;1).

Пример. Разложить функцию fx) = x³ + 2x — 5 по степеням x — 1.

^ Воспользуемся формулой (21), в которой надо взять x₀ = 1, n = 3

(n - степень многочлена). Вычислим f(1), f '(1), f "(1), f ^/7/(1) и полученные числа подставим в формулу (21).

f(1) = -2,

fXx) = 3x² +2, /(1) = 5, f"(x) = 6x, f ⁷(1) = 6, f "'(x) = 6.

После подстановки в (21), в которой вместо x - x₀ надо писать x — 1

окончательно получим x³ + 2x — 5 = —2 + 5(x — 1) +3(x — 1)² + (x — 1)³. ^ Пример. Разложить функцию f(x)=-^- в ряд по степеням x.

П

1

1 + X

да

I (- 1)"х^й

n=0

(36)

о формуле суммы геометрической прогрессии

Ряд сходится при |x| < 1. ^

При разложении в ряд Тейлора часто используют почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию fx) = arctg x. ^ Найдем производнуюf x), получим

^f'^(x) = ⁽arctg ^x)/ =—¹₂.

1 + x

Заменив в формуле (36) x на x, получим

Так как при почленном интегрировании интервал сходимости

с

.2 n+1

охраняется, то ^{arctg x} = S^(-1) ₉ , , для любого x e (—1;1]. ^

n=0 ²ⁿ + ¹

Применение степенных рядов

1) Приближенное вычисление значений функции.

Если функция f(x) в интервале (x₀ - R; x₀ + R) разлагается в

го

степенной ряд ^f(x) = Х ^a« (^{x - X}o)", то в качестве приближенного значения

n=0

функции fx) в точке x e (x₀ - R; x₀ + R) можно взять частичную сумму

ⁿ k

э

k=0

л го

—₂ = Z(“i)”-*²” для x e (-1;1).

¹ + ^x n=0

Интегрируя этот ряд почленно, получаем

* ^го

arctg x = J-—у = X^(-1)

A 1

”

X

2 n+1

+ X

n=0

2n +1

того ряда: ^f(x) ~ ^S„^(x) = SOt^{(x -x}0⁾ . Точность этого равенства

увеличивается с ростом n.

Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

Ю

E

\f (^x) - S„ (^x)| = |^R (x)|

^ak (^{x - x}o f.

к=n+1

О

Rn (*)|

<

^an+1

(

X - X

0

n+1

Пример. Вычислить число e с точностью до 0,001.

-V — V —

* Подставив х = 1 в формулу (12), имеем ^е= ^E 7^1 + ^E 7,- I . Оценим остаток

1

к=0 ^к! ktn+1 ^к!

1

Юл Л Ю

E-=-E- e

к=n+1 ^{к! n!} к =n+1⁽ⁿ + 0-^{к n!} к =n+1⁽n + ^-)

<

Л Ю

1

_ ¹ n +1 _ ¹

ук-n

!n .

n! n

n +1

ценивать остаток ряда можно различными способами. Можно использовать представление остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши или интегральной. В отдельных случаях можно применять признак Лейбница: если степенной ряд в некоторой точке х удовлетворяет признаку Лейбница, то

Следовательно, равенство e=£ — имеет абсолютную погрешность,

к=0 ^к!

равную —. Найдем п, для которого — <0,001 или п!п > 1000. Получаем п

n!n n!n

> 6. Вычисляя 2+£ - и округляя, находим ответ с требуемой точностью е * 2,718. ►