Лекция 15. Ряд Маклорена для основных функций

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

1) Разложение функцииf(x) = e^x. Имеем:f (x) = f (x) = ... = f⁽ⁿ'^>(x) =

e^x, откуда при x = 0 получаем: f(0) = f ^;(0) = f ^/;(0) = ... = f ⁽ⁿ⁾(0) = 1. По формуле

(22) для функции e^x составим ряд Маклорена:

„

(29)

x x² xⁿ

1 + - +— +... + — +... 1! 2! n!

Н

R

lim

a

^an+1

_Л. n!(n +1)

lim = ю.

п^ю n!

айдем интервал сходимости ряда (29)

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Докажем теперь, что функция e^x - сумма ряда (29).

Для всех x е (- R; R) имеем | f ⁽ⁿ⁾(x)| = e^x < e^R = M, т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом M = e^R. Следовательно, по теореме о достаточном условии разложимости функции в ряд Тейлора, функция e^x разлагается единственным образом

в степенной ряд по степеням х на любом интервале (— R; R), а следовательно, и на всей числовой прямой.

И

2 3

e — 1 + x н \ н... +

2! 3!

X

n

\

Xⁿ

n!

ZX

"7, х е R.

n—0 ^n!

(30)

Л

п

X н—

2 j

2) Разложение функции /х) = sin х. Имеем: ^{f (х) — cos X — sin}

f"(^X)^{— -sinх — sin}f^{X + 2}^ ,...,^{f(n)(x)— sin}f^x + ⁿn~j, откуда, полагая x = 0,

получаем: /(0) = 0, f(0) = 1, f¹¹ (0) = 0, f ¹¹¹ (0) = —1, f⁽⁴⁾ (0) = 0,. Составим по формуле (22) для функции sin х ряд Маклорена:

,и 2n+1 да / 1\и 2n+1

V

3 5 7 / i\n

ххх (-1) X

х \ н... +

+

(-1) ⁿx

3! 5! 7! (2n +1)! n_—0 (2n +1)! •

Любая производная функции /(х) = sin х по модулю не превосходит

единицы,

f⁽ⁿ⁾(х) — sin⁽ⁿ⁾(х)| —

( n )

п

sin I х + n —

^¹ для всех х е R. Тогда по теореме о

так, для функции fх) = е^х справедливо следующее разложение:

достаточном условии разложимости функции в ряд Тейлора, функция sinv разлагается в степенной ряд по степеням х следующим образом:

sin x = x -

x'

3!

+

x'

x

5!

7!

+... +

(- 1)^их ^2и+1 (2n +1)!

+

ад / л\п 2n+1 ^{(-1) x}

h (2п +1)! ’ ^{x е R}

(31)

3

cos x =

ад

(^{sin x})' = h

п=О

( -1) ^п (x ^{2 n+1}) (2n +1)!

(-1) ⁿx ²ⁿ

ho (2n)!

) Разложение функции f(x) = cos x. Разложение функции f(x) = cos x в ряд Маклорена можно получить так же, как и разложение функции fx) = sin x. Но проще поступить иначе — почленно продифференцировать ряд Маклорена для функции sin x (см. теорему о дифференцировании степенных рядов п.5.3.):

Причем это равенство верно во всем интервале сходимости исходного ряда, т.е. при всех x е R.

И

cos x = 1 -

2 4 6

x x x +

2! 4! 6!

(- 1)ⁿx²

+... + -—- +

(2и)!

ад

n 2n

= h

n=0

(- 1)ⁿx (2«)!

x е R. (32)

так, для функции f(x) = cos x верно следующее разложение:

4. Разложение функции fx) = ln(1+x). Рассмотрим ряд из членов

л I I 2 I 3 I I n 1 I

геометрической прогрессии 1 + x + x + x +... + x +..., первый член

которой равен единице, а знаменатель q = х. Как известно, при

1

данный ряд сходится и его сумма равна ₁ _ _X . Следовательно,

1

x

< 1

1 _ X

1 . , 2 , 3 , . n_1 ,

— 1 + X + X + X + ... + X + ...

(33)

Подставляя в равенство (33) —t вместо х, получаем равенство

— 1 _ t +1² _ t³ +... + (_1)”_’ tⁿ_’ +...

1 +1 ’

справедливое при |t| < 1. Проинтегрируем этот степенной ряд почленно (см. теорему об интегрировании степенных рядов п. 5.3) в пределах от 0 до х (|х| < 1). Имеем

X

dt

f— — In(1 +1)| — ln(1 + X) — f(1 _t +1² _t³ +... + (_1)ⁿ_‘tⁿ_’ + ...)dt —

H +1 ' {

X X			X	X
f dt _	J tdt +	f t 2 dt		_J 13
00			0	0
	12 X 1	X о t		X t4
—t	—	+ —		—
	0 2	0 3		0 4

X

X

+ ... + (_1)

X

0

X

iⁿ _' J tⁿ

0

n

_1^t

n

X

+ ... —

n

0

2 3

X X

— X ь

X

2 3

4

+... + (-1)

n

_-1 X

+ ...

n

О

2 3 4

ln(1 + x) — X — — + — — + ... + (-1)

2 3 4

П го n

n—1 ^X X"'¹ / 1\n-1 ^X

n

+...=Z (—1)'

n—1

n

тсюда

Равенство (34) является разложением функции fx) = ln(1+x) в степенной ряд. Оно справедливо при |x| < 1. Можно доказать, что это равенство верно и для x = 1.

4. Разложение функции fx) = (1+x)^a.

Имеем

f ' {х) = a(1 + x)^{a 1}; f ^н(х) = a(a - 1)(1 + x)^{a _ 1};

f ⁽ⁿ⁾(x) = a(a - 1)(a - 2)...(a - (n - 1)) (1 + x)^{a n} ,... n e N.

При х = 0 соответствующие значения производных будут равны: f0) = 1, f^/(0) = a, f^//(0) = a(a - 1),. f ⁽ⁿ⁾(x) = a(a - 1)...(a - n + 1).

Подставляя найденные значения производных в формулу (22) получим ряд

при х е (-1; 1).

Этот ряд называется биномиальным.

Если a = n е N, то все члены ряда, начиная с (n + 1)-го номера равны нулю, так как содержат множитель a - n = n — n = 0. В этом случае ряд представляет собой формулу бинома Ньютона: