1. существует число R > 0, такое, что при всех х, таких, что |х| < R, ряд сходится абсолютно, а при |х| > R - расходится;

2. ряд сходится только в точке х = 0;

3. Ряд сходится для всех х.

Zn

^an^х . Если R -

n=0

неотрицательное число или +да, обладает тем свойством, что при всех х, для которых |х| < R, этот ряд сходится, а при всех х, для которых |х| > R - расходится, то число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание: На концах интервала, то есть при х = R и при х = -R может иметь место как сходимость ряда, так и его расходимость.

Лекция 14. Степенные ряды (продолжение) Вычисление радиуса сходимости степенного ряда.

Т

, то для

еорема. Если существует конечный или бесконечный ^lim Щ

Ш. У J У n——ю »

Zn

^an^х справедлива формула

n

(14)

а если существует конечный или бесконечный “m

a

n

^an+\

, то

R = lim

n—ю

a

n

^an+l

(15)

=0

Все сказанное с помощью преобразования типа Х = х — хо (х - новая переменная, хо — фиксировано) переносится и на степенные ряды по

да

степеням (х — хо) вида 2^ап^{(х- х}о)”. R — его радиус сходимости. либо

п=0

интервал (хо — R, хо + R) — интервал сходимости.

Областью сходимости степенного ряда с действительными членами

да

2 ^an ^(х - ^х о) "

n=о

может оказаться либо интервал (хо — R, хо + R), либо отрезок [хо — R, хо + R], либо (хо — R, хо + R] или [хо — R, хо + R). Если R = +да, то областью сходимости будет вся числовая ось, т.е. интервал (-да,+да), если R = 0, то область сходимости будет состоять из одной точки хо.

Для отыскания области сходимости степенного ряда

да

2 ^an ^{(х - х}о ⁾⁾

n=о

нужно сначала вычислить его радиус сходимости R, найти интервал сходимости (хо — R, хо + R), в котором ряд абсолютно сходится, затем исследовать сходимость ряда в концах интервала сходимости — в точках х = хо — R, х = хо + R.

Пример. Найти радиус сходимости и область сходимости ряда

ад

X (n !)²(X + 5)” .

n=0

л 2

^я

(n!)'

.. ,_Ч1ч2 -. ,_ч2 -. Таким образом, радиус сходимости R =

a_n+l n^x ((” +1)!)² n^x (n +1)² t- ’ r « j ^

0, область сходимость состоит из единственной точки х = -5. ^

Пример. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда

lim

n^-ад

lim

lim

0

Выпишем х₀ = -5 и коэффициенты ряда a_n = (n!) . Существует

а

2

д /->n

X—(X - 3)ⁿ .

n

n=1

*

R = lim

n ^ад

a„

^a«+i

= lim

n ^ад

2ⁿ (n +1)

n • 2

n+1

Концы интервала сходимости

X = Xn - R = 3 - — = — и ¹⁰ 2 2

Выпишем х₀ = 3 и коэффициенты ряда a_n=²-. Найдем

_D_~ 1_⁷

X9 — x_n + R — 3 +— — — . ^{2 0} 2 2

И

' —7^ч

2’2 J

так, ряд абсолютно сходится для всех х из интервала

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляем в заданный ряд *=* =^—. Получится числовой ряд

£—I⁵-з) =£—I--¹) =£. Этот знакочередующийся ряд удовлетворяет

n=i ^п v^{2 J} n=i п ^v 2 ^J n=i ^п

условиям признака Лейбница, следовательно, он сходится.

П

п=1 ^п v ² J п=1 ^п

2

одставим в заданный ряд л=х₂=-. Получим £—(¹) =£¹. Получили

г

Итак, область сходимости — присоединился один из его концов).

5-'

2’2 j

(к интервалу сходимости

►

армонический ряд, который, как известно, расходится.

Интегрирование и дифференцирование степенных рядов с

действительными членами

Обратимся теперь к степенным рядам вида

a₀ + a₁(x - x₀) + a₂(x - x₀)² +... + a_n(x - x₀)ⁿ +... = Ea_n(x - x₀)ⁿ ₍₁₆₎

n=0 ’ \ /

где a_n (n = 0,1, 2,...), x₀ - заданные действительные числа (a_n - коэффициенты ряда), x - действительная переменная.

Теорема (об интегрировании степенных рядов). Пусть ряд

да

Е ^an^x" = ^f(x)

n=0

имеет интервал сходимости (- R, R). Если пределы интегрирования а, Р лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда, т.е.

Р Р, Р Р р

[

а

а

а

а

а

f (x)dx = [(a₀ + a₁ x +... + a_nxⁿ + ...jdx = [ a₀ dx + [ a₁ xdx +... + [ a_nxⁿdx +...

Теорема (о дифференцировании степенных рядов). Если ряд

да

Z ^an^x = ^f(x)

n=0

имеет интервал сходимости (— R, R), то ряд

да

Z ^nan^xп=Ф(^x), ₍20₎

полученный почленным дифференцированием ряда (19) имеет тот же интервал сходимости (— R, R). При этом ф(х) = f (x), если |x| < R. Другими словами, внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (19) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (19).

Замечание. Ряд (20) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз, причем интервалы сходимости полученных рядов будут совпадать с интервалом сходимости исходного ряда.