Определение. Функциональный ряд

^f

Ю

1 ^(х) + ^f2 ^(х) + ••• + ^fn ^(х) + ••• = Z ^fn ^(х)

n =1

называется мажорируемым в области Di, если существует такой сходящийся числовой ряд

Ю

a + а + •••+@_п + ••• = ''

n=1

с положительными членами, что Vx е D₁ выполняются соотношения:

|/1(х)| < ai , |/г(х)| < й2 ,..., \fn(x)\ < an ,...

Теорема (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть функции fn(x), n е N определены в

да

Ya

области Di, и пусть существует числовой ряд ^{x n} такой, что:

П=\

1. Vn > n₀ Vx е D\ : fn(x)\ < an,

2. Ряд Xan сходится.

n=\

Т

n=\

Числовой ряд

да

X ^an

n=\

называется мажорирующим для

огда функциональный ряд X ^f(x) сходится абсолютно и равномерно в области Di.

да

функционального ряда X ^f(x).

n=\

Из теоремы Вейерштрасса следует, что мажорируемый ряд является равномерно сходящимся.

Пример. Исследовать на абсолютную и равномерную

д

sin nx

2 , х е R.

а

с

n

да

А тл X^Sin ПХ

^ Ряд X—~ сходится равномерно и абсолютно при всех х е R,

n=1 ⁿ

поскольку для него существует мажорирующий сходящийся числовой 1

да

ряд ^X 2 , так как

n=1 ⁿ

sin nx

n

2

<

1

n

при х

е R. ►

ходимость ряд X'

Пример. Исследовать на абсолютную и равномерную сходимость

a

ряд X

х е R.

rctg nx

_n

nx

^ Так как для всех х е R: |^arctg

%

< —, то Vx е R и Vn е N имеем

\fn (^x) =

%

да

arctg nx

<

%

<

% 1

x⁶ + nVn 2(x⁶ + n\fn) 2 n^4/3

. Из сходимости мажорирующего ряда

arctg nx

₂ X следует абсолютная и равномерная сходимость ряда X на R. ^

— 6 . 3 /

_n=₁ x + nv n

=₁ x ⁶ + nv n ’

Степенные ряды

Определение. Функциональный ряд вида

да

a₀ + a_x(x-x₀) + a₂(x-x₀)² +... + a_n(x-x₀)ⁿ +... = ^a_n(x-x₀)ⁿ , (9)

n=0

где a₀ ^ a_{n -} произвольные постоянные , называется степенным рядом по степеням (x-x₀) . Числа a_n , n = 0, 1, 2,... называются коэффициентами степенного ряда, х₀ - центром степенного ряда.

В частности, ряд

да

2 n х. ¹ n

a₀ + ap; + a₂ х +... + a_n х +... = ^ a_n х ₍1₀₎

n=0

является степенным по степеням х. С помощью замены х — х₀ = Х ряд (9) сводится к ряду (10).

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (10) сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Это

множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд (10) сходится при х = 0.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (10) сходится в точке х = х\ ф 0, то он абсолютно сходится для всех х таких, что |х| < |х₁|. Если же ряд (10) расходится в точке х = х₂ ф 0, то он расходится и для всех х таких, что |х| > |х₂|.

Радиус сходимости степенного ряда Теорема. Для всякого степенного ряда (10) справедливо одно из следующих утверждений: