Лекция 13. Функциональные ряды

Определение. Пусть действительные или комплексные функции fn(x), n е N, определены на множестве D, где D - множество действительных или комплексных чисел. Выражение

ад

^f1^{( x)} + ^f2^(x) + ••• + ^fn ^{(x) +} ••• = Z fn ^{(x е D} ₍₁₎

n=1 ^ ^

называется функциональным рядом, а функцииfi(x),f;(x),...,_/П(х),...- членами этого функционального ряда.

Определение. Если для хо е D числовой ряд Z ^fn^(xо⁾ сходится, то

n=1

говорят, что функциональный ряд (1) сходится в точке хо.

Определение. Если в каждой точке хо е Di с D числовые ряды

ад

Z fn ^(Х) сходятся, то ряд (1) называется сходящимся на множестве Di.

n=1

го

Определение. Функциональный ряд X ^fn ^(х) называется абсолютно

n =1

сходящимся на множестве D, если на множестве D сходится

го

функциональный ряд XI ^fn ^(х)| из модулей его членов.

n =1

Определение. Множество Do с D всех точек х из D, в которых

го

функциональный ряд X ^fn^(х) сходится, называется областью

n=1

го

сходимости этого ряда, а область сходимости ряда XI^fn^(х)| называют

n =1

го

областью абсолютной сходимости ряда X ^fn (^X) .

n=1

Определение. Функция ^S(х) = ф™ ^Sn^(х) называется суммой, а

разность R_n(х)=S(х) - S_n(х) - остатком ряда.

Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (1) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши.

И

lim

п—w

/n+l( * ) ^/п ⁽*⁾

^{l (x)} _или ^lim Ф^/п^(x)| ^{= l (x)}

п—w

то

менно, если

при l(x) < 1 ряд (1) сходится абсолютно, при l(x) > 1 ряд (1) расходится,

при l(x) = 1 требуются дополнительные исследования.

П

W

функционального ряда

I

п=1

1

п(x + 1)^п •

ример. Найти область сходимости и абсолютной сходимости

Пример. Найти область сходимости функционального ряда

п=1 п

(-1)

,—=, x > -3.

■ 2

^п ч](x + 3)^п

^ Так как \^/п⁽*^ =

п 2^й ^(х + 3)” и x > -3, то, применяя признак Коши,

имеем

lim

п ——w

1

= lim

п

2^п - уI(* + 3)^{п п—w п}п ■ 2 ■ Vx + 3 WX+3 .

Следовательно, ряд сходится абсолютно, если _2л/х+з ^{< 1}, т.е. при

¹¹ , - 11 ^x > . Ряд расходится, если / > 1, т.е. при ^-3 < ^x < .

При

i— ^(-1)

__11 ^Х~~ 4

n+1

ГО

2>/ x + 3

получаем

( 1^”+1 ГО ^ j^n+1

^_ ” , который сходится по признаку

знакочередующийся

ряд

=z-^(-iLT=z-

n=1 n • 2ⁿ • n=1

- n• 2” J-H ₊ 3^ ^ n • 2” •

2

n

Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда - полуинтервал

'и ^ ► ^- "4"’Н.

Равномерная сходимость.

Определение. Сходящийся в области Di функциональный ряд

Ю

/\( х) + f₂(^х) + ••• + fn (^Х) + ••• = Z fn (^Х)

^{1 2 и и} называется равномерно

с

Rn (х) =

Ю

Z ^fk^(х)

< s

ходящимся к функции fx) в этой области, если для любого s > 0 найдется N = N(s) такое, что при всех n > N(s) и х е Di

к=n+l