Собственные значения и собственные векторы матрицы

Рассмотрим некоторые понятия линейной алгебры, которые используются при решении о.л.с.д.у. с постоянными коэффициентами.

Пусть A - числовая квадратная матрица n-го порядка, Y - числовая матрица-

столбец размера n х 1, называемая далее (п-компонентным) вектором, ⁰ - нулевой вектор.

Определение. Если для некоторого числа X (действительного или комплексного)

(

существует вектор Y Ф 0

AY = XY

Y -

то X называется собственным значением, соответствующим собственным вектором матрицы A.

Определение. Многочлен n-й степени P(X) = det(A-XE), где E - единичная

det(-)

а вектор

матрица n-го порядка, а

означает определитель, называется

возможно и с комплексными компонентами) такой, что

характеристическим многочленом, а уравнение P(X) = 0

- характеристическим

уравнением матрицы A.

Собственные значения матрицы A совпадают с корнями ее характеристического уравнения, а всякий собственный вектор, соответствующий собственному значению X, является ненулевым решением однородной системы

линейных уравнений вида ^{(A - XE)Y} = ⁰ (Y- столбец неизвестных).

Пример. Найти собственные значения и какие-нибудь соответствующие собственные векторы матрицы

f

A =

1 -П

1-4 1, •

◄ Составим характеристическое уравнение матрицы A:

1

= X² - 2X- 3 = 0

det( A - XE) =

-X -1

-

Его корни, т.е. собственные значения матрицы A, ^Х1 = ¹, ^X2 = ³ . Пусть ^Y =

- соответствующие собственные векторы. Для нахождения y составим однородную систему линейных уравнений

( A -X_xE )У_г = (A + E )У_Х =

V^a2 )

и

V?2

)

f 2 -1Л	f aj ^
v-4 2)	Va 2 )

= 0

4 1 -X

т.е.

2a! - a₂ = 0, -4a! + 2a₂ = 0.

Одно из ненулевых решений этой системы ^a1 = ¹, ^a2 = ² . Таким образом, один из собственных векторов, соответствующих собственному значению X1, имеет вид

Р

Аналогично находим y₂ :

(A -X2E)Y = (A - 3E)Y2 =

Pi ^{= 1}, P2 - ^-2, и, следовательно,

( 1 ^

₂ . ►

v^-2 )

₍- 2 -1 ^ V-4 - 2)

( 1 \

Y2 -

(P1

V^p2

V-2 )

Л

)

-2P1-P2 - 0, -4P1 - 2p2 - 0,

(11 v 2 ,

Ответ: ^X1 ^--1, ^Y1 ^-

Xn= 3

Y2 -

ешение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами методами линейной алгебры

В случае, когда все коэффициенты системы (4) постоянны, т.е. матрица ^{A( t)} = ^A не зависит от t, для отыскания фундаментальной системы решений может быть использован аппарат собственных значений и собственных векторов.

Определение. Характеристическим уравнением о.л.с.д.у. X = АХ с постоянными коэффициентами называется уравнение

det( A - XE) - 0

(т.е. характеристическое уравнение матрицы A этой системы).

Y Ф 0 - числовой n-мерный вектор, тогда и только тогда является решением о.л.с.д.у. с постоянными коэффициентами, когда X есть корень (действительный или комплексный) характеристического уравнения этой системы, т.е. собственное значение ее матрицы, а Y- соответствующий собственный вектор.

Доказательство: Если X(t) = Ye^x\ то легко видеть, что X = XYe . Тогда вектор­функция X(t) = Ye^ ^ 0 является решением системы X = АХ ₅ т.е. X(t) = AX(t) ₀ XYe^X = AYe^Xt ₀ XY — AY, т.е. X - собственное значение матрицы A, а Y - соответствующий собственный вектор. ■

Рассмотрим подробно случай ^{n — 2}, т.е. систему

г •

х = ОцХ + а₁₂у, у = а₂₁х + а₂₂у.

Г I 1 U U

Т

Р (X)

1 X а21

а 12

^а22 ^{— X}

— X² - SX + A

огда характеристический многочлен - второй степени:

где ^{S — а}11 + ^а22, A — det A, и, следовательно, возможны следующие три случая.

^Х1 и ^Х 2 . Тогда, если ^Y1 и ^Y2 - какие-нибудь соответствующие

собственные векторы, вектор-функции ^X1 ^{= Y}i^еХ и ^X2 ^{— Y}2^e^^2t образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, согласно теореме о структуре общего решения оно имеет вид X - CiX 1 + C2 X2.

Пример 2. Найти общее решение системы

х = х —у, у = -4х + у.

◄ Матрица системы

f

A

1 -П v-4 1 у.

Е

-t

V ²

т

V 2 у

-t

V 2e-^t у

и

-2

V^-2 У

X2

(см.

^r e^{3t Л}

V

-2e^3t

У

пример 1). Следовательно, вектор-функции фундаментальная система решений, и общее

е собственные значения и соответствующие собственные векторы ^Х1 -^-1

решение системы имеет вид

2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, т.е.

л

^1,2 = ^а - ^г'Р . В этом случае, найдя для собственного значения ^ 1 какой-

Y

нибудь соответствующий собственный вектор ¹ (с комплексными компонентами), в качестве Ф. С. Р. взять действительную и мнимую части

комплексного решения ^Y1^{e 1} , т.е. X\ = Re Ye^kxt и X₂ = ImYe^Xlt.

Пример. Найти общее решение системы

X = х + у,

У

<

= Cl X + C₂ X₂ = Cl

+ C2

l

-2 e

31

)

т.е.

x

<

У =

Ci e -^? + C2 e³,

2C₁ e^- - 2C₂e³. ►

= —2х + 3 у.

◄ Характеристическое уравнение

1 -X 1 -2 3-X

— X

² - 4X + 5 = 0

имеет комплексно сопряженные корни ^х1,2 = ² — ⁱ. Для нахождения какого-

нибудь собственного вектора значению х=2+i, имеем систему

(A - XE)Y —

Y —

^г а₁ ^Л

v^a2 j

, соответствующего собственному

1 1	(a1 ^
1 (N 1	Va2 J
a2 — 1 + i,	т.е.

= 0

₍ 1 1 v¹ +ⁱ j

,⁽²+^{i )t} —

(-1 - i )a₁ +a₂ = 0,

^{или 1} -2aj + (1 - i )a₂ = 0.

( 1 ^

v

1 + i j

Итак, согласно теореме о

характеристическом уравнении данная система имеет комплексное решение вида

X = Ye^Xt —

r

cos t + i sin t

\

e

2t

V (cos t - sin t) + i(cos t + sin t) J

(использована формула Эйлера e^lt — cos t + i sin t ). В качестве фундаментальной системы решений X1 и X2 возьмем Re X и Im X соответственно:

Г

cos t

\cos t - sin t j

V X2—

sin t

\

2t

\ cos t + sin t j

Итак, общее решение системы

( cos t

= C

V У

V

cos t - sin t

J

V

sin t cos t + sin t

J

или

x = e^2t (Cj cos t + C₂ sin t),

y

►

= e^2t ((C₁ + C₂ ) cos t + (C₂ - C;) sin t).

2. Характеристическое уравнение имеет двукратный действительный корень ^X 1 . В этом случае фундаментальную систему решений образуют вектор-функции

X_l = Ye^x'* _и X₂={Y + tY)e^K'^t, где Y = (А - X_tE)Y * О Пример 4. Найти частное решение системы

х = 2х-у,

у = 4х + 6у,

удовлетворяющее начальным условиям x (0) = 0, у (0) = 1.

◄ Характеристическое уравнение

2

= X² - 8X +16 = 0

-X -1

4

X = 4

имеет корень

кратности 2.

6-X

Общее решение данной системы

х = -e^4t (C1 + C21),

_У = e^4t (2C1 + C2 + 2C2).

Для нахождения частного решения константы с и C2 определяем из системы

0. = -с_ь

1. = 2C1 + C2,

полученной в результате подстановки начальных значений ^t = ⁰, х = 0 и У = 1 в

общее решение, откуда ^с1 = ⁰, ^с2 =¹, и, следовательно, искомое частное решение есть

X = -te^4t,

y

<

Пусть

Y =

O']

-2 -IVол

V1J X₁ = Ув^ъ =

Y = (A-XE)Y =

V ^{4 2} J

f-n „ ~ ,, f(T\

e^4t X₂ = (Y + tY)e^)J = (

Тогда

V ² J

V¹J

V1J

(-1Л

v 2 j

+

f-1 ^

2 j

t )e^4t =

Следовательно,

f -1 ^

v1 + 2t j

A t

= e^4t (1 + 2t). ►

Лекция 10. Числовые ряды

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность действительных или комплексных чисел Ui, U2, U3,..., и_щ...

Выражение вида

ад

^и1 + и2 + ^u3 + ... + и_п + ... = ^ и_{п (1)}

п=1

называется числовым рядом. При этом числа ui, U2, из,..., и_щ... называются членами ряда.

Определение. Сумма ^S_n = ^ui + ^и2 ^{+ и}з ⁺...^{+ и}_п первых n членов ряда называется его n - й частичной суммой.

Рассмотрим частичные суммы:

51. = Ui,

52. = Ui + U2,

53. =

    Sn = Ui + U2 + U3 + . Un.

    Определение. Если существует конечный предел

    S = lim S_n

    п^ад

    то ряд (i)

    Ui + U2 + U3,

ад

называется сходящимся, а число S - суммой ряда (1). Записывают ^S = 2 ^ип.

п=1

jjm S

Если ⁿ не существует или бесконечен, то ряд (1) называется

расходящимся.

г

1

о

Пример. Показать, что ряд ^X , _п сходится и найти его сумму.

n—1 ⁿ⁽ⁿ + П

. ¹ 1 _1 1

' ^{Так как} др^обь _n(_n + 1) ^пр^ед^{ставима в ви}д^е _n(_n +₁) = _{n n} +₁^{, то}

1

Sn	1	1	1
	— +	+	+... +
	1 • 2	2 • 3	3 • 4
	11	1	1
+		+	— 1 -

1 1

+

1

n -1 n n n + 1

1111

- — 1 I I + ... +

(

n+1

Следовательно, ^Sn =

^ ⁷ n^-да n^x

равна 1. ►

1

Л

1 -

V n + 1j

— 1,

т.е. заданный ряд сходится и его сумма

n - 1)n n(n +1) 2 2 3 3 4

Исследование ряда из членов геометрической прогрессии

Исследуем на сходимость ряд

да

X

(2)

^aq , а Ф 0

n—1

и в случае сходимости найдем его сумму.

2

S =

k e N.

n

/7 1

^

n-1

Имеем ^{6 7 8}_n = ^a + ^aq + ^aq + ••• + ^aq . Используя формулу для суммы n

п

a - aq‘

n

a aq

n

ервых членов геометрической прогрессии, получаем

1 - q 1 - q 1 - q

Вычислим ^Sn при различных значениях q.

П^ад гг i

1) Если |q| < 1, то ^q = ⁰. Поэтому Am ^Sn = т~— ^lim -p— = ~~, ряд (2) сходится

^{7 111} n^-ад ^J n^x n^x 1 _- q n^x 1 _- q 1 _- q ^{A 4 7}

a

а его сумма равна 1 _- q .

^ a aq

2. Если |q| > 1, то ^{lim q} = ^ад. Поэтому ^{lim S}n = йп — = ^ад, т.е. ряд (2) расходится.

^{/ 1} -^{1 1} n^-ад n^-ад n^-ад 1 _- q ^А

, то предел последовательности Sn частичных сумм рассматриваемого ряда при ⁿ ^ ^Ф не существует и ряд расходится.

Таким образом, ряд S ^aq сходится при |q| < 1 и его сумма равна и

n=1 1 - q

расходится при |q| > 1. ►

Необходимое условие сходимости

Теорема (необходимое условие сходимости). Если ряд ^{X u}n сходится, то

n=1

lim u_n = 0

П——X

Доказательство. Так как ряд X u_n сходится, то существует конечный предел S

n=1

последовательности {Sn}, где Sn - n-я частичная сумма ряда. Тогда ^{lim S}n = ^S и

n —X

«m ^Sn-1 = ^S (при n — X и (n - 1) — x).

Тогда ^{lim u}n = ^lim (^Sn ^{- S}n-1) = ^{lim S}n ^{- lim S}n-i = ^{S - S} = ⁰. ■

n—X n—X n—X n—X

X

С ледствие (достаточное условие расходимости). Если ^un ^ ⁰, то ряд

расходится.

Доказательство. Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) ^un = ⁰. Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится. ■

я 5n + 2

Пример. Исследовать на сходимость ряд £

n

Я

5n + 2

^ Ряд £~ расходится, т.к. ta ^Un = ^

_n=13n + 1 ^{г 5} n—Я п—я

_i 3n +1

5n + 2 5

Г13n +1 ' n —я

необходимое условие сходимости ряда. ^

^—Я

3n +1 3

= -ф 0

т.е. не выполняется

Пример. Исследовать на сходимость ряд £

^{Я f}п + 5^Лп

4 lim и _ lim

/ ,\n

' п + 5 '

^Ып

п—Я п—Я

Л

п + 9

ln

4

1 -

V п + 9 )

4

1V п + 9 )

Так как ln(1+ t) ~ t при t — о, то

п_1

4

п+5

п lnl 1'

_ lim e ^п+⁹ _ lim e ^{V п}+⁹

п—Я п——Я

п ln

п lnl 1-

4

п+9

4 п

п+9 — _п^-4

_ lim e

п—Я

e * 0. Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда. ^

п

г при п—Я, и lim Ып _ lim e

+ 9 ^А п—Я п—Я

Замечание: Условие ^Un _⁰ является необходимым, но не достаточным

условием сходимости ряда: из условия ^Un _ ⁰ не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых ^Un _ ⁰ .

В качестве примера рассмотрим ряд Х~г. Здесь jjjm ^Un Г ⁰ • Однако этот

I 19

—I 19

dx =I d 23

у • и у •• 41

V X2— 97

I 112

12 134

^{l (x)} _или ^lim Ф^/п^(x)| ^{= l (x)} 149

ад 178

(^{sin x})' = h 178

т.е. S_n >sfn, откуда следует, что Sn ^ +да при n ^ да, и, значит, ряд расходится. ►

Свойства сходящихся рядов

Определение. Ряд

да

^U

(3)

k+1 + ^Uk+2 ⁺ ••• = X ^Un = ^Rk

n=k+1

полученный из ряда (1) путём отбрасывания его первых к членов, называется остатком ряда (1) после к-го члена.

Свойство 1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого числа его первых членов.

Доказательство. а) Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, т.е. jJm S_n - S.

Обозначим через S_k сумму отброшенных членов ряда (1), а через а_п__к сумму первых п - к первых членов ряда (3), где к - фиксировано. Тогда S_n = S_k + а_п__к , где S_k - некоторое число, не зависящее от п. Отсюда а_п__к = S_n - S_k и

lim a n-k ^- (^Sn - ^Sk^{) - lim S}n - ^{lim S}k ^{- S - S}k

n—Ж n —Ж n —Ж n —Ж ,

т.е. последовательность частичных сумм {а_п-к} ряда (3) имеет предел, что означает сходимость ряда (3).

б

^{lim S}n ^{- lim( S}k ^+а n-k ^{) - lim S}k + ^{lim a} n-k ^{- S}k ^+a

n ——Ж n ——Ж n ——Ж n ——Ж

что и означает сходимость ряда (1). ■

Ж

X^u

Ж

Свойство 2. Если ряд

n

n-1

сходится и его сумма

равна S, то ряд X ^Cun , где C

n-1

) Пусть теперь ряд (3) сходится и имеет сумму а, т.е. ^an-k ^-а. Тогда

любое число, также сходится и его сумма равна CS.

Доказательство. Пусть S_n - частичная сумма ряда ^{X n} , а G_n - частичная сумма

д

^un а g

n

n=1

а

ЕС

ряда ⁿ

n=1

у

^CUn . Тогда G_n = Сщ + Cu₂ +... + Cu_n = С(щ + u₂ +... + u_n) = CSn . Отсюда переходя к пределу при n ^ да, получим

lim g _n = lim CS _n = C lim S_n = CS

n ^да n ^да n ^да

да

Следовательно, X ^Cun = ^CS. ■

n=1

Свойство 3. Если ряды ^{X Un} и ^{X V}

n

сходятся и их суммы, соответственно, равны

=1 n=1

да

S

n=1

да

да

Доказательство. Пусть U_n и V_n - частичные суммы рядов X

^Un и ^{X Vn} , а <j_n

n=1 n=1

i и Si, то ряд XU + Vn ) также сходится и его сумма, соответственно, равна Si + Si.

да

X

частичная сумма ряда

^n ^{+ v}n⁾. Тогда a_n = (u₁ + v₁) + (u₂ + + v₂) + ...+ (u_n + v_n) = (u₁

n=1 + ^u2 +. + ^un⁾ + ^(vi + ^v2 +. + ^vn⁾ = ^Un + ^Vn.

Отсюда, переходя к пределу при n ^ да, получаем

l

2

n —— n n / — n — n

n^-да n^-да n^-да n^-да

Следовательно,

да

X^(un

^{+ V}n ⁾= ^S1 ^{+ S}2 . ■

n=1

Критерий Коши сходимости ряда

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того, чтобы ряд

да

X ^Un

n=1

im an = lim ^(u_t1 + ^Vn⁾= ^{lim U}n + ^lim V = ^Si + ^S

сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого 8 > 0 существовал такой номер N=N(8), что при любом n > N выполнялось неравенство

|Л*| < 8.

Лекция 11. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Ю

П

n=1

усть дан ряд ^{1 Un} . Если Vn е N u_n > 0 (u_n > 0), то ряд называется рядом с

неотрицательными членами (с положительными членами).

Т

Ю

Ю

I ^vn

n=1 n=1

и пусть выполняются неравенства Un < Vn для всех n е N тогда из сходимости ряда

Ю Ю

Ю . .

у I _и I _и

^{1 n} следует сходимость ряда ^{1 n} , а из расходимости ряда ^{1 n} следует

n=1 n=1 n=1

I

и

n

и

еорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

Ю

р

I^v

n=1

асходимость ряда ^{I n}

Д

^ Ю

Ю

I ^un и ^{1 Vn} .

Ю

I

V,

рядов I ^un и I ⁿ . Из неравенства u_n < v_n следует, что S_n < <j_n . Так как ряд i 'ⁿ

n=1 n=1 n=1

оказательство. а) Обозначим через S_n и G_n соответственно частичные суммы

1 •

сходится, то 3 ^а n = ^а. Из того, что члены рядов неотрицательны, следует, что

a_n < а, и тогда в силу неравенства S_n < a_n получается S_n < а. Мы доказали, что последовательность частичных сумм {S_n} ограничена. Заметим также, что {S_n} - неубывающая последовательность, так как S_n - S_n-1 = u_n > 0. Таким образом, из того, что последовательность частичных сумм не убывает и ограничена, следует, что она

имеет предел ^m ^Sn = ^S, причем S < а.

ж

б) Из условия u_n < v_n следует, что S_n < a_n . Так как члены ряда ^{X u}n неотрицательны

n=1

то его частичная сумма S_n не убывает при возрастании n, а так как он расходится, то

да

X

Bm ^Sn ^ж. Но тогда в силу неравенства S_n < a_n ^а n = ^ж, т.е. ряд ^{у n}

V.

n

n

расходится. ■

=1

ж 1 _У—

Пример. Исследовать на сходимость ряд “ _n . з

n=1 ^{n 3}

да

Р

1

яд ^У о n сходится, так как его члены образуют геометрическую прогрессию со

n=1 ³

-1 у _±_

знаменателем ^q = ^ . Следовательно, ряд у n • 3 n сходится по признаку сравнения.

►

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда с

U

lim = к

д

да

а

п

у

^ Заметим, что для любого n е N выполняется неравенство

1 1

u_n = ^ — = v_n

ⁿ on on ⁿ

n • 3 3

оложительными членами у ^un и ^{у v}n , и существует n^да v , 0 < к <

n=1 n=1 П

да да

+да. Тогда ряды ^{У u}n и ^{У v}n сходятся или расходятся одновременно.

П=1 n=1

д

у _u

Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд ^{у n}

с положительными

n=1

U

членами и существует предел ^lim

s ⁷ s * n ^да u

при l < 1 ряд сходится,

n+1

=^l. Тогда:

n

а

при l > 1 ряд расходится,

при l = 1 требуется дополнительное исследование.

Доказательство. а) Пусть l < 1. Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого s > 0 существует номер N такой,

и

п+1 _ l

и

,

ч

^{< s}. Это неравенство может быть

то для всех n > N выполняется неравенство

п

з

l _ s <

и

п+1

< l + S

и

(7)

п

аписано в виде

Так как l < 1, то s можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство l + s < 1. Обозначая l + s = q из правой части неравенства (7) имеем ^ < q, или u_n+1 <

^ип

qu_n для всех n = N, N+1, N +2,... Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем

^uN + 1 < ^quN,

^u

2

N +2 < ^quN+1 < ^{q u}N ■ ^uN +3 < q^uN +2 < q ^uN ■

т.е. члены ряда

^u

(8)

N +1 ^{+ u} N +2 ^{+ u} N +3 ^{+ .}

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:

2 3

qu _N + q² u _N + q³ u _N + ... (9)

Так как q < 1, то ряд (9) сходится . Тогда согласно признаку сравнения ряд (8) тоже

сходится. Но ряд (8) получен из данного ряда X ^ип в результате отбрасывания

п=1

конечного числа первых членов, т.е. ряд (8) - остаток данного ряда, следовательно,

да

ряд X ^ип сходится по свойству 1 сходящихся рядов.

п=1

д

б) Пусть теперь l > 1. Докажем, что ряд

X

п=1

и

п

расходится. Возьмем s настолько

а

малым, чтобы l - s > 1. Тогда при n > N в силу левого неравенства (7) выполняется

н

и

п+1

еравенство ^{> 1} или u_n+_x > u_n> 0. Таким образом, члены ряда, начиная с

^ип

некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда u_n не стремится к нулю при n ^ да. Следовательно, по необходимому признаку

да

сходимости ряд X и_п расходится. ■

Заметим, что при l = 1 ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

ад Y ад ^

^X ~ и ^X ~2 l = 1, т.к.

Например, для рядов

и

n=1 ⁿ n=1 ⁿ

и для первого ряда lim

Un+1=Km nil

n^-ад и n^-ад n

1, и для

второго ряда lim

и

n+1

lim

п^ад и п^ад n

n

(n +1)² ад 1 ад 1

⁽—^ = 1. Тем не менее, ряд X - расходится, а ряд сходится.

ⁿ n=1 ⁿ n=1 ⁿ

П

ад

Xⁿ

ример. Исследовать на сходимость ряд ^ on

n

n

4

^ Имеем ^un - _n , Un+1 получим, заменив n на n+1: ^un+1 =

ⁿ 2ⁿ

_r Un+1 r (n + 1)⁴2ⁿ _r 1 ( О

lim -ⁿ+¹ = lim y-— = lim - 1 + —

2n+1 4

n ⁿ^^ад 2 v n J

(n +1)⁴ 2 ⁿ+¹

Тогда

4

^ад n⁴

= -< 1. Таким образом, ряд X — сходится по признаку 2

~=\ 2ⁿ

n=1

=1 ²

Д

►

аламбера.

Теорема (признак Коши). Пусть дан ряд X^и_п с неотрицательными членами и

п=1

существует предел =¹. Тогда

при l < 1 ряд сходится, при l > 1 ряд расходится,

при l = 1 требуется дополнительное исследование.

Доказательство. По определению предела числовой последовательности для любого s > 0 существует номер N такой, что для всех n > N выполняется неравенство

<

'ФФ - ¹

s. Это неравенство может быть записано в виде

I 19

—I 19

dx =I d 23

у • и у •• 41

V X2— 97

I 112

12 134

^{l (x)} _или ^lim Ф^/п^(x)| ^{= l (x)} 149

ад 178

(^{sin x})' = h 178

Ряд (12) сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда (11), начиная с U_N, меньше членов ряда (12). Следовательно, ряд (11) сходится по признаку сравнения.

б) Пусть теперь l > 1. Возьмем s такое, что 0 < s < l - 1, следовательно, l - s > 1. Тогда согласно (10) для любого n > N в силу левого из неравенств uU > 1 и Un > 1. Таким

образом, члены ряда £ u_u не стремятся к нулю при n ^ ж, поэтому ряд расходится. ■

и=1

Пример. Исследовать на сходимость ряд £

/ 3n — 2 ^Л

v 2n +1 j

^ Имеем U

, поэтому

3n — 2

n=1 V ²ⁿ + ¹J

\ⁿ

lim = lim

П^Ж

П^Ж

n

n

^f3n - 2^ⁿ

V

2n +1

J

3n - 2 3

= lim — > 1

^п^^ж 2n +1 2

Следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

►

Пример. Исследовать на сходимость ряд у-

п=1 3

ж 1 ( 1Л^п

У —11 +¹'

n

2

* Имеем lim ^йП = lim п

п^ж п^ж I

1

( л\^п 1 +¹

V п J

= lim -

п^ж 3

1 + -

V п J

= - ^e <¹, т.е. по признаку Коши ряд

сходится.

►

Теорема (интегральный признак Коши). Если функция fix), определенная при всех x > 1 неотрицательна, непрерывна и убывает на промежутке [1, +го), то ряд

+х>

X ^{f (n)} и несобственный интеграл 7^f (^х ^^dx сходятся или расходятся одновременно.

n=1 1

Д

у

оказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции у = fx), с боковых сторон прямыми x = 1 и x = n, снизу осью ОХ, как изображено на рисунке.

Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры,

состоящие из прямоугольников с основаниями [1,2], [2,3],—,[n - 1, n] и высотами f(1), f2), f(3),..., fn - 1), fn). Тогда, учитывая геометрический смысл определенного интеграла, имеем:

n

f (2) + f (3) +... + f (n) < J f (x)dx < f (1) + f (2) +... + f(n -1),

1

n

^S

или

Отсюда получаем:

n ^{- f} (!) < J f ^(x)dx < Sn - f (ⁿ).

1

n

^Sn < ^{f (1)} + J ^{f (x} )^dx

1

n

^S

(14)

n > ^{f (n)} + J ^{f (x)dx}

1

где S_n - частичные суммы рассматриваемого ряда.

n

n

Пусть интеграл

J f⁽ x )dx

сходится. Это значит, что существует

lim J f (x)dx = I

n^-ю^ •

1

1

n

Так как fx) > 0, то последовательность Jf(x)dx возрастает с увеличением n и

1

n

о

<

граничена сверху своим пределом: J ^{f (x} <¹. Из неравенства (13) следует, что S_n

1

ю

f(1) + I, т.е. последовательность частичных сумм {S_n} ряда X ^{f (n)} ограничена. Так

n=1

как ряд

ю

X ^{f (n)}

n=1

возрастающую

с положительными членами, то его частичные суммы образуют последовательность. Всякая монотонная ограниченная

последовательность сходится, следовательно, последовательность {S_n} сходится, а

г

значит, сходится ряд

Z ^{f (п)}.

п=\

о

+го

П

n

усть теперь I^{f (x)dx} расходится. В этом случае J^{f (x)dx —}+^го при n — го (как

\ \

монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (14) следует, что S _n — +го при n — го, т.е. последовательность частичных сумм {S_n} ряда

го

Z f (n) расходится и, следовательно, ряд расходится. ■

п=\

г

\

о

Пример. Исследовать на сходимость ряд ^Z (^ ₊ \)^^ ₊ ^).

^

+го

I

dx

lim J ^d^^(x + inln(x + \) = lim (in In(b + \)-Ып2) = +го

i—\.-\-гг\ » пл I -v _l_ I I A—\.Л-гг\ ^ b——+го

^J (x + \) in (x + \) Ь — +го I in (x + \) Ь—+го Так как исследуемый несобственный интеграл расходится, то и исследуемый ряд

Функция ^{f (х}) = ^^^фп(;с +1) удовлетворяет условиям интегрального признака Коши: она положительна, непрерывна и убывает на промежутке [1; +го). Находим

р

►

асходится.

Сходимость рядя Дирихле

ад 1

Y —

Ряд Дирихле {обобщенный гармонический ряд) ' _иа , а е R сходится при а > 1 и

n=1 ^п

расходится при а < 1.

Доказательство. Если а < 0, то йп -77 = йп ^{n а} ^ ⁰, т.е. не выполнен необходимый

^г ^ п^ад n п^ад

^ 1 1 признак сходимости ряда, и ряд расходится. Так как при а > 0 функция ^{f (x)} = —

n=l n x

в промежутке [1;+ад) удовлетворяет условиям интегрального признака Коши, то

+ад 7

исследование ряда Дирихле сводится к исследованию сходимости интеграла f — при

J -у. сс l x

различных значениях а.

,

1-а

+ад j b 1

1) При 0 < а < 1 f ^ = lim f ^d = lim i

^{y L J} x^а b^+ад ^J x^а b^+ад 1 _— а

„ т. 7 b

= -— lim (ь^1а -1)= ад. Следовательно,

1

согласно интегральному признаку Коши ряд расходится.

+ад ь Ux

2. При а = 1 f — = lim f — = lim ln|x| _Л = lim (ln|b| — 1п1)=ад. Значит, как и в предыдущем

'' ^А * x b^+ад * x b^+ад ¹ b^+ад ^А ^

случае, ряд расходится.

+ад 1 b 1

г ax _л. г ax _л. x

2. ^При ^а >¹ J -а = bmJ-а = b^T

x

1-а

b ^+ад 1 — а

1

= —^ lim (b^1—а — 1)=—!—

1 — а ^+^ад а — 1

Следовательно,

-а Ь^+ад^ч

с

►

огласно интегральному признаку Коши ряд сходится.

Лекция 12. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная

сходимость

Рассмотрим ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными.

Теорема (достаточное условие сходимости знакопеременного ряда). Пусть дан ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами

да

^U1 + ^и2 + ••• ^{+ u}n + ••• ⁼ Х^Un . ₍₁₅₎

n=1

Если сходится ряд

д

и

+

и

2

+ ••• +

и

n

+ ••• = ^

и

n

n=1

(16)

а

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный числовой ряд.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

(

Z⁽u + И⁾

n=1

^U1 ⁺ |^Ul| )⁺(^U2 ⁺ |^U2 |)⁺ •••⁺^Un + |^un |) +

Так как ⁰ — ^un + ^un — ²

и

n

и ряд

12

n=1

и

n

II

и

сходится (так как сходится ряд '^{1 n} ),

n=1

то по признаку сравнения следует сходимость ряда

Ik + I^un |)

n=1

да да

Исходный ряд I"n IX n

n=1 n=1

I^un =K^Un + \^un\)~I^k

n=1

сходится как разность двух сходящихся

рядов. ■

М

расходятся. Например, ряд

да

I

n=1

(-1)ⁿ⁺¹

n

сходится (это будет доказано), а ряд

1¹

n=1 ⁿ

ы доказали, что из условия сходимости ряда (16) вытекает сходимость ряда (15). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов,

составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд). Определение. Ряд с произвольными (действительными или комплексными)

да

^I

членами

^u?n , называют абсолютно сходящимся, если сходится действительный

n=1

и

да

I\u_n

ряд ⁿ

n=1

з абсолютных величин его членов.

И

ж

cos n

Пример. Исследовать на абсолютную сходимость ряд X

n=1 ⁿ

* Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

cos n

ж

X

n=1

Так как при любом n имеет место соотношение

.2

n² cos n

(19)

n

.2

<

1

X Л

2 , а ряд ^ 2 сходится

ⁿ n=1 ⁿ

спользуя данное определение доказанную выше теорему можно сформулировать так: Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

(ряд Дирихле, а = 2 > 1), то по признаку сравнения ряд (19) сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. ^

З

#1 ^_ a2 + аз ^_... + (—1) a_n +

ж

X (-1) ”+’ а

n =1

, где a_n > 0, Vn е N. (20)

накочередующиеся ряды. Признак Лейбница Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого члены попеременно то положительны, то отрицательны, т.е. ряд такого вида:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости:

Теорема (признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (20) удовлетворяет условиям:

1. a₁ > a₂ > a₃ >...> a_n > a_{n +1} >...;

2. lim ^a,₇ = ⁰.

Тогда этот знакочередующийся ряд сходится, его сумма неотрицательна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа членов ряда (20)

S2n = ai - a₂ + a₃ - a_A +...+ a_lL^_i - a2n = (ai - a2 + (a₃ - a4) +...+ (a_lL^_i - a2n). Из первого условия теоремы следует, что выражение в каждой скобке неотрицательно. Значит, сумма S_2n > 0 и не убывает с возрастанием номера n. С другой стороны эту сумму можно записать так:

^S2n = ^a1 ^{- (a}2 ^{- a}3^{) - (a}4 ^{- a}5^{) -}—^{- (a}2n-2 ^{- a}2n-1^{) - a}2n •

Заметим, что S_2n < a₁. Таким образом, последовательность S₂, S₄, S₆,..., S_2n... не

убывает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел jjjm ^{S2п = S}, причем

0 < S < a₁ •

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда (20). Очевидно, что S_2n+1 = S_2n + a_2n+1. Отсюда следует, что

^{]im S}2n+1 = ^{]im (S}2n + ^a2n+1 )= ^{]im S}2n + ⁰ = ^S ,

п^да п^да п^да

так как ^{lim a}2n+1 ^{- 0} по второму условию теоремы. Итак, ^{lim S}n ^{- S} как при четном,

n^-да ^L *' *' ^{L 7} n^-да ^{L 7}

так и при нечетном n. Следовательно, ряд (20) сходится, причем 0 < S < a₁ . ■

да

Если знакочередующийся ряд ^{У( 1) a}n , a_n > 0, n е N, удовлетворяет условиям

П-1

да

признака Лейбница, то модуль суммы всякого его остатка К - У (-1) ^k+‘ a_t

о

k - n+1

ценивается сверху числом a_n+₁: \R_n\ < a_n+₁, n е N. Для вычисления суммы такого

ряда с заданной точностью 8 решаем неравенство an +1 < 8, откуда находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью 8. Далее вычисляем n-ю частичную сумму S « S_n = a₁ - a₂ +...+(-

1 \n-1 1) an .

да /1\n-1

Пример. Исследовать на сходимость ряд У ⁽—⁾—.

n-1 ^n!

^ Проверим условия признака Лейбница для данного знакочередующегося ряда с

1

^a

n!^:

1) последовательность <—| убывает

n ^-

n!

2) lim — - 0

' n^-да n!

Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

д

►

а (_1)^п

Пример. Вычислить сумму ряда £ с точностью до 0,01.

п=1

Д

◄

1) Последовательность

1

п³ +1

убывает;

2) lim

' и

1

О

п + 1

= 0.

Следовательно, справедливо неравенство * - ¹

п

^ ^ап+1 =

(п + 1)³ + 1

Если ап+1 < 5, то и |*п| < 5. Следовательно, достаточно найти минимальное число п gN, для которого выполняется неравенство

Ц < 0,01.

(п +1)³ +1

Преобразуем это неравенство: (п + 1) + 1>100, п > V99_ 1 *3,62. В результате находим, что п = 4. Таким образом,

у (_1)_

& п³ +1

п

1 1 1 1

S 4 = \ \ * _0,41

2 9 28 65

анный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:

Условно сходящиеся ряды

Определение. Ряд с произвольными (действительными или комплексными)

да

членами ^{1 u}n называют условно сходящимся, если он сходится, но не является

n

абсолютно сходящимся, т.е. если

да

I ^Un

n =1

сходится, а ряд

да

I l^Un

n=1

расходится.

=1

Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Например, для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме положительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов.

^ (-1)^n-1

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд ¹ а .

n=1 ⁿ

д

да

(-1)

n-1

значит, ряд I⁽ ) расходится.

,=1 n

а

При а > 0 возможны два варианта:

да 1 да

а

(-1)^n-1

) если а > 1, то ряд сходится, откуда следует, что ряд ~'_а сходится

n=1 ⁿ n=1 ⁿ

абсолютно;

да I

б) если 0 < а < 1, то ряд расходится, значит, исходный ряд не будет сходиться

n=1 ⁿ

абсолютно.

да /_1 \n-1

И

ч=1 ⁿ

сследуем ряд £⁽ ) на условную сходимость. Докажем, что этот ряд

удовлетворяет признаку Лейбница.

1

Д

убывает, во-вторых,

ействительно, во-первых, последовательность . а = 0. Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

да

(-1)

n-1

ZV V

_а ^ _{а а} а расходится, при 0 < а <1 сходится

n=1 ⁿ

условно, при а > 1 сходится абсолютно. ^

+да

(-1)

n

Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд ^£ _п .

n=2

+f

^ Проверим, сходится ли ряд из модулей членов ряда, т.е. ряд X

п—2

1

п ln п ■

Функция ^f(x) - : удовлетворяет всем требованиям, наложенным на нее в

x in x

интегральном признаке Коши,

+f у +^о

[-*- - lim Г

J v In V h—J

2

dx T d in x _v , b\

lim Ilnln x l-+f

x ln x b^+f J ln x b^+f^{v 2 7}

2

+f

(-1)

n

_ „ Vv v

+да 1 >

Следовательно, ряд У расходится, т.е.ряд ^у „ не является абсолютно

_n-2 п ln п п-2 ^{п ЯА п}

сходящимся.

+да

У

(-1)

п

1

Исследуем ряд у-г— на условную сходимость. Последовательность It

п 2 п l^l п I п И1 п

1

убывает, _п_ ⁰. Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Значит,

данный ряд сходится условно.

►