Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

1) Пусть функция f(X) определена на отрезке [-л; л]. Если функция

ч

где

2

л

л

^ао =~

f (*)=О¹+Z

2

а_п cos nx

n=1

(12)

2 л

J ^{f (}*^{) dx}, ап = - J f (*) cos nx dx, _{n £ N}

0 ’ ^л 0 ’

етная, т.е. f(-x) = f(x), то её ряд Фурье имеет вид

а коэффициенты Фурье b_n = 0.

2

да

f (*) = X ^Ъп sin ^пх,

п=1

2 Я

где

b_n = — [ f (х) sin nx tfX ^Я 0

п е N,

(13)

) Пусть теперь функция fix), определенная на отрезке [-я; я], нечетная, т.е.f-x) = -f(x) то её ряд Фурье имеет вид

а коэффициенты Фурье а_п = 0.

Таким образом, если функция f(x) четная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечетная, то только синусы.

2

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x на отрезке [-

*

я; я]. и	|ii
-371 -71 0

x

Продолжая периодически функцию fx) на

всю вещественную ось, получим функцию ^{f (х)}, график которой изображен на рисунке. Эта функция 2я-периодическая, непрерывная и огра­ниченная, следовательно, может быть разложена в

р

0, а a_n

^а о

а„

2 ^п

— [ х

² dx п {

п

2 п ² 3 ’

= — [ х² cosnxdx = —

п

—

п

х² sin nx

п

п

Л

V

n

о

- ^— [ х sin nxdx n

о

=(-1)ⁿ

4

n

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

₂ п² / cos x cos 2 x cos3 x

x = 4 — +

3

V

1

2

2

3

2

Л ) ‘

яд Фурье. Так как она четная, то её коэффициенты Фурье b_n находится по формулам (11):

Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Пусть теперь функция f(x) является периодической с произвольным периодом 2l, l Ф 0. Отметим, что признак Дирихле, сформулированный для 2—-периодических функций, справедлив и для функций с произ­вольным периодом.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [-1; l] (где l > 0). Тогда ряд Фурье функции f(x) имеет вид

(

n

1 1

=- J ^{f (x)}

¹ -1

14)

где

a

^bn=1

—nx

₇ cos dx,

1

—nx

1 1

- J f (x) sin —n^x dx,

n = 1,2,... n = 1,2,...

Пример. На отрезке [—3; 3] найти тригонометрический ряд Фурье функции f(x) = |x|.

^ Продолжая периодически функцию fix) на всю вещественную ось, получим функцию / (X), график которой изображен на рисунке. Эта функция периодическая с периодом 21 = 6, непрерывная и ограниченная, следовательно,

может быть разложена в ряд Фурье. Кроме того, функция f(x) = |x| - четная, следовательно, все коэффициенты Фурье b_n = 0, а

коэффициенты а_п вычисляются следующим образом:

2 г , 2 X

а_п = — xdx = —

⁰ 3 J 7

-6

о

6

0

3 2

=3

0

2. г nnx ₇ 2

а„ = — x cos dx =

2. ^J

о

3

3

3

3x sin

nnx

nn

3

3

nn

3

I^si

0

nnx , sin dx

3

6 nnx

cos

(nn)

2

3

3

0

6

(nn)⁹

[(-1)ⁿ -1]

при n четном; при n нечетном.

Т

12

(nn)²

	3	12	nx 1	3nx	1	5nx
x	=	n 2	cos b —	cos	+ -	cos b ...
	2		L 3 32	3	52	3 J

огда ряд Фурье функции f(x) на отрезке [-3; 3] имеет вид:

(2n - 1)nx

c

12 у

_2 ^

ⁿ n=1

os

(2n -1)² •

Так как функция f(x) удовлетворяет условиям признака Дирихле, то ряд Фурье этой функции во всех точках сходится к значению функции. ^

3

3

* Сначала изучим ряд I l^un |. В нашем случае \u_n\ = -¹. Если а < 0, то ^К| * ⁰ и

5 ^у1 ^{- 2 у}2 + ^уз = ⁰ (или ^{У 3} является линейной комбинацией ^У1 и У 2 : Уз = ²У2 ^{- 5}У1);

б) функции ⁰,^sin x,lⁿ х линейно зависимы на +^да), так как

1 • 0 + 0 • sin х + 0 • ln х = 0 у_х е (о, +») (_или У₁ = 0 = 0 • sin х + 0 • ln х ). ►

6 Если q = 1, Sn = an, ^{lim S}n = ^ад, и, следовательно ряд расходится.

n ^ ад

7 Если q = - 1, ряд (2) принимает вид a - a + a - a + ... Его n-я частичная сумма равна

а, при n = 2k -1,

0, при n = 2k,

8Поскольку две подпоследовательности {S 2 k-1 }Г=1 и {S 2 k )k=1 последовательности ^{Sn }_n=₁ имеют различные пределы: ^S2 k-1 = ^a и ^S2 k = ⁰

9