§7. Классическая вероятностная схема. Вычисление вероятностей событий с помощью комбинаторики. Две задачи.
Задача 7.1.
В урне лежат 36 симметричных шаров с
разными номерами
.
Наудачу из этой урны вытаскивают 5 шаров.
Найти вероятность того, что в этот набор
шаров входят шары с номерами 3, 4, 35, 36, 7
(порядок не учитывается).
Решение.
Элементарные
события−это сочетания без повторений
из 36 элементов по 5 элементов (пятиэлементные
множества из номеров
).
Пусть
пространство
элементарных событий.
число всех
элементарных событий. Следует
подчеркнуть, что число
вычислялось с помощью сокращения
факториалов
,
и
,
что позволило избежать операций с
большими числами.
Пусть
число
элементарных событий, входящих в событие
(благоприятствующих событию
).
Так как среди
элементарных событий избранное множество
встречается один
раз, то
.
Вероятность события
равна
.
Задача 7.2.
(о двух стандартах). В партии из
деталей
имеются
окрашенных
деталей. Наугад из этой партии деталей
выбираются
деталей. Найти вероятность того, что в
наборе из выбранных деталей появятся
ровно
окрашенные детали.
Решение.
Элементарные
события−это сочетания без повторений
из
элементов
по
элементов
(
элементные
множества, составленные из
элементов). Пусть
пространство
элементарных событий.
число всех
элементарных событий.
Событие
состоит из
элементарных событий, составленных из
окрашенных деталей
и
неокрашенных
деталей. Если набор неокрашенных деталей
в элементарном событии фиксирован, то
окрашенных деталей
дают еще
новых элементарных событий. Аналогично,
если набор окрашенных деталей в
элементарном событии фиксирован, то
неокрашенных
деталей дают еще
новых элементарных событий. Пусть
число
элементарных событий, входящих в событие
(благоприятствующих событию
).
По правилу
произведения
.
Вероятность события
равна
.
Осталось учесть, что , , , .
.
Следует подчеркнуть,
что числа
,
и
вычислялось
с помощью сокращения факториалов, что
позволило избежать операций с большими
числами.
§8. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Три задачи.
Определение.
Говорят, что события
образуют полную группу событий, если
выполнены два условия:
1)
;
2)
,
.
Теорема 8.1. Пусть события образуют полную группу событий. Тогда верны равенства:
1)
(формула
полной вероятности);
2)
,
(формулы
Байеса ).
Пример 8.1. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,07, а на втором −0,08. Производительность второго автомата втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартная.
Решение.
Рассмотрим
события:
– деталь изготовлена на 1−ом автомате;
– деталь изготовлена на 2−ом автомате.
События
образуют полную группу событий. Пусть
событие
−
деталь, взятая с конвейера деталь
нестандартная. Пусть
число
деталей, изготовленных на 1−ом автомате.
Тогда
число
деталей, изготовленных на 2−ом автомате
и
число
деталей, которые поступают на общий
конвейер. Найдем вероятности событий
,
используя формулы классической схемы:
,
.
Контроль:
(верно).
Из условия находим остальные вероятности:
,
.
По формуле полной вероятности вероятность события равна
.
Пример 8.2. Имеются две урны. В первой урне 8 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных. Из первой урны, не глядя, берут один шар и кладут его во вторую урну. Из второй урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение.
Рассмотрим события: – из первой урны взят белый шар; – из первой урны взят черный шар. События образуют полную группу событий. Пусть событие −из второй урны взят белый шар. Найдем вероятности событий, используя формулы классической схемы:
;
Контроль:
(верно).
По формуле полной вероятности вероятность события равна
.
Пример 8.3. В трех однотипных ящиках находятся стандартные и нестандартные детали. В первом ящике лежат 3 стандартные детали и 2 нестандартные детали, во втором – 4 стандартные и 1 нестандартная деталь, в третьем – 5 стандартных деталей и 2 нестандартные детали. Из наудачу взятого ящика наудачу извлечена стандартная деталь. Найти вероятность того, что эта деталь лежала в первом ящике.
Решение.
Пусть
– события, состоящие в том, что выбран
первый, второй, третий ящик соответственно.
Пусть событие
−
деталь стандартная. События
образуют полную группу событий. Найдем
вероятности событий, используя формулы
классической схемы:
;
Контроль:
(верно).
По формуле полной вероятности вероятность события равна
По формуле Байеса
.