5.2. Прикладные задачи. Элементарные события как возможные исходы некоторого испытания (опыта).

Проводится некоторое испытание (опыт) с конечным числом возможных исходов и это испытание может повторяться любое число раз. Если в результате испытания возникает некоторый возможный исход , , то говорят, что он появляется или наступает. Предполагается, что выполнены следующие условия:

а) обязательно хотя бы один из возможных исходов , , наступит;

б) возможные исходы , , с разными номерами одновременно наступить не могут;

в) возможные исходы имеют одинаковые шансы появиться, т.е. нет оснований предполагать, что одни из них появляются чаще, чем другие.

Последнее условие необходимо в силу свойства 5.10, которое было выведено из формулы (5.1). Если вероятность события вводится по другой формуле, то это условие надо поменять на другое. В прикладных задачах при их формулировке часто для соблюдения условия в) применяют следующие слова: «наугад», «симметричный», «одинаковый» и др.

После таких предположений можно говорить о множестве всех возможных исходов и следовать традиционной интерпретации терминов из предыдущей теории:

1)элементарные события отождествляются с возможными исходами;

2) событие наступает (появляется), если наступает (появляется) элементарное событие в него входящее;

3) если элементарное событие есть элемент события (входит в событие ), то говорят, что это элементарное событие благоприятствует событию .

4)достоверное событие наступает всегда, так как состоит из всех элементарных событий;

5) невозможное событие никогда не наступает, так как в нем нет элементарных событий;

6) тогда и только тогда, когда верно утверждение: если наступает событие , то наступает событие ;

7) событие наступает тогда и только тогда, когда события и наступают одновременно;

8) событие наступает тогда и только тогда, когда хотя бы одно из событий или наступает;

9) событие наступает тогда и только тогда, когда события и наступают одновременно;

10) если наступает событие , то событие не наступает;

11)вероятность события это оценка шансов наступления события .

Пример 5.1. Симметричный игральный кубик наугад бросается один раз на гладкий стол. Найти вероятность того, что на верхней грани появится число, делящееся на три.

Решение.

Испытание это однократное бросание кубика на гладкий стол наугад.

Шесть возможных исходов:

;

на верхней грани появился целый номер .

пространство элементарных событий.

Событие на верхней грани появится число, делящееся на три. В силу формулы (5.1) искомая вероятность равна

.

§6. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Независимость событий.

Определение. Пусть . Число называется условной вероятностью события при условии, что произошло событие .

Можно показать, что для условной вероятности верны свойства 5.1 5.3, а значит и свойства 5.4 5.9 . Поэтому условная вероятность это новая вероятность события .

Определение. События и называются независимыми, если

.

Определение. События , и называются независимыми, если выполнены следующие условия:

1) , , ;

2) .

В прикладных задачах обычно считают, что математическая независимость событий совпадает с жизненной независимостью событий, для того, чтобы использовать формулы из определения для нахождения вероятности произведения событий.

Свойство 6.1. Верны утверждения:

1)если , события и независимы, то ;

2) если , события и независимы, то .

Свойство 6.2. Верны утверждения:

1)если и , то события и независимы;

2) если и , то события и независимы;

Свойство 6.3. Пусть события и независимы. Тогда независимы следующие пары событий: 1) и ; 2) и ; 3) и .

Свойство 6.4(вероятность произведения двух событий или теорема умножения). Верны утверждения:

1) , если ;

2) , если .

Свойство 6.5. Пусть события , и независимы. Тогда независимы следующие тройки событий: 1) , и ; 2) , и ; 3) , и ;

4) , и ; 5) , и ; 6) , и ; 7) , и .

Свойство 6.6(вероятность произведения трех событий или теорема умножения). Верно утверждение:

, если .

Свойство 6.7. .

В прикладных задачах при применении теорем умножения условные вероятности часто оценивают исходя из интуитивного понимания условной вероятности, так как иначе от этих теорем не будет никакой пользы. О некотором обосновании такого подхода рассказывается в книге [6].