§3. Размещения без повторений. Размещения с повторениями. Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями.

3.1.Размещения без повторений.

Предположим, что в урне лежат разных объектов, которых будем называть буквами. Из этой урны без возвращения вытаскиваем последовательно букв. Получается слово длины , если буква, появившаяся при вытаскивании с номером , вставляется в это слово на место с таким же номером . Полученное слово называется размещением без повторений из элементов по элементов.

число всех размещений без повторений из элементов по элементов,

где , , , , … , (читается: эн факториал). Если , то получается одно пустое слово и .

Пример 3.1. Пусть , и в урне лежат три буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех размещений из элементов по элемента: ; .

2) .

3.2. Размещения с повторениями.

Предположим, что в урне лежат разных объектов, которых будем называть буквами. Из этой урны с возвращением вытаскиваем последовательно букв. Получается слово длины , если буква, появившаяся при вытаскивании с номером , вставляется в это слово на место с таким же номером . Полученное слово называется размещением с повторением из элементов по элементов.

число всех размещений с повторениями из элементов по элементов.

Если , то получается одно пустое слово и .

Пример 3.2. Пусть , и в урне лежат три буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех размещений из элементов по элемента: ; .

2) .

3.3. Перестановки без повторений (см. 3.1) .

Размещение без повторений из элементов по элементов называется перестановкой из элементов.

число всех перестановок из элементов.

Пример 3.3. Пусть и в урне лежат три буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех перестановок из трех элементов:

; .

2) .

Можно показать, что все перестановки можно получить так:

а) выбираем одну (любую) перестановку;

б) переставляем всеми способами буквы в избранной перестановке.

3.4. Перестановки с повторениями.

Предположим, что имеется разных букв и в урне лежат следующие объекты: штук, штук, … штук.

Из этой урны с возвращением вытаскиваем последовательно все букв. Получается слово длины , если буква, появившаяся при вытаскивании с номером , вставляется в это слово на место с таким же номером . Полученное слово называется перестановкой с повторениями и параметрами .

число всех разных перестановок с повторениями и параметрами .

Пример 3.4. Пусть в урне лежат две буквы и две буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех перестановок с повторениями и параметрами , :

; .

2) .

Доказательство формулы из 3.2.

Пусть множество всех букв, лежащих в урне, а множество всех размещений с повторениями из элементов по элементов. Ясно, что (всего множителей). По правилу произведения .