1.3.Свойства операций над множествами.

Предполагается, что все изучаемые нами множества содержатся в одном универсальном множестве . Такая ситуация возникает в теории вероятностей. При таком предположении можно говорить о свойствах пяти первых основных операций над множествами.

Свойство 1.1 (коммутативный или переместительный закон относительно суммы множеств).

.

Свойство 1.2 (коммутативный или переместительный закон относительно произведения множеств).

.

Свойство 1.3 (ассоциативный или сочетательный закон относительно суммы множеств).

( .

Свойство 1.4 (ассоциативный или сочетательный закон относительно произведения множеств).

.

Свойство 1.5 (дистрибутивные или распределительные законы, связывающие сумму и произведение множеств).

,

.

Свойство 1.6. .

Свойство 1.7. .

Свойство 1.8. .

Свойство 1.9. .

Свойство 1.10. , , .

Свойство 1.11. .

Свойство 1.12. , .

Свойство 1.13 (правила де Моргана).

, ,

,

.

Свойство 1.14. Если , то для любого множества верно равенства:

1) ; 2) ; 3) .

Свойство 1.15. Верны утверждения:

1) ; 2) ; 3) ; .

Перечислим без доказательства некоторые свойства прямого произведения множеств.

Свойство 1.16 (ассоциативный или сочетательный закон относительно прямого произведения множеств).

.

Свойство 1.17 (дистрибутивный или распределительный закон, связывающий сумму и прямое произведение множеств).

.

Свойство 1.18. .

Свойство 1.19. .

Замечание (о приоритете операций).

В выражениях, содержащих операции над множествами скобки регулируют очередность выполнения операций. Если же скобок нет, то очередность

выполнения операций такая: черта сверху, произведение, сумма. Ситуация практически ничем не отличается от ситуации с числовыми выражениями.

§2. Общие правила комбинаторики. Прямое произведение множеств и правило произведения.

Комбинаторика−это наука о конечных множествах. Мы будем изучать лишь ту ее часть, в которой нужно найти число элементов множества, которое получается из других конечных множеств с помощью специальных операций.

Определение. Пусть конечное множество, Тогда число элементов множества , при этом говорят, что объект из множества может быть выбран способами.

Ясно, что и всегда . Изучим некоторые свойства меры , введенной для любого конечного множества .

Свойство 2.1(правило суммы или свойство конечной аддитивности меры ). Верны утверждения:

1)если , то ;

2)если , и , то ;

3)если , ,

то .

Свойство 2.2(правило объединения).

Верны утверждения:

1) ;

2) .

Свойство 2.3(правило разности).

Верны утверждения:

1) ;

2) ;

3) если , то .

Свойство 2.4 (свойство монотонности меры ).

если , то .

Свойство 2.5 (правило произведения).

Верны утверждения:

1) ;

2) .

Пример 2.1(задача о значках). Пусть имеются три набора (множества) объектов:

множество математических символов;

множество букв;

множество красок.

На математический символ наклеивают букву, новую заготовку окрашивают и получают значок. Сколько разных значков можно сделать?

Решение.

Способ 1. На математический символ наклеивают букву и получают новую заготовку. Число новых заготовок равно, очевидно, числу клеток таблицы и равно 12. Новую заготовку окрашивают и получают значок. Число значков равно, очевидно, числу клеток таблицы и равно 48.

Способ 2. Пусть множество значков. Ясно, что . По правилу произведения .

Способ 3. По правилу произведения число разных значков равно .

На практике решение задач похожих на задачу о значках обычно оформляется так, как показано в способе 3.